움직이는 질량과 전기 회로는 겉모습이 다릅니다. 하지만 둘 다 에너지를 저장하고 잃으며 외부 작용에 반응합니다. 방정식 속 공통 구조를 읽으면 낯선 시스템도 더 쉽게 모델링할 수 있습니다.
질량·스프링·댐퍼부터 시작
질량의 변위를 x, 속도를 v=dx/dt라 합시다. 외력 F는 관성 m d²x/dt², 점성 감쇠 b dx/dt, 스프링 힘 kx를 이겨야 하므로 F=m d²x/dt²+b dx/dt+kx입니다. 관성은 속도 변화에 저항하고, 스프링은 변위에 따라 에너지를 저장하며, 댐퍼는 에너지를 열로 소산합니다.
이것은 모델 선택입니다. 건마찰, 유격, 충돌, 비선형 스프링은 들어 있지 않습니다. 이런 생략이 질문에 허용되는 범위에서 식이 유용합니다.
직렬 RLC 회로를 옆에 놓기
축전기 전하를 q, 전류를 i=dq/dt라 하면 키르히호프 전압 법칙에서 V=L d²q/dt²+R dq/dt+q/C가 됩니다. 변위 x를 전하 q에, 속도 v를 전류 i에 대응하면 미분항의 순서가 기계식과 정확히 같습니다.
힘–전압, 즉 임피던스 유추에서 각 쌍은 수학적 역할이 같아도 물리 단위는 다릅니다. 질량의 숫자를 그대로 헨리에 넣는다는 뜻이 아닙니다. 실제 등가 모델에는 스케일과 단위를 따로 정해야 합니다.
| 기계계 | 직렬 RLC | 공통 역할 |
|---|---|---|
| 힘 F [N] | 전압 V [V] | 외부 구동 |
| 변위 x [m] | 전하 q [C] | 흐름의 누적 |
| 속도 v [m/s] | 전류 i [A] | 흐름 |
| 질량 m [kg] | 인덕턴스 L [H] | 운동·자기 에너지 저장 |
| 감쇠 b [N·s/m] | 저항 R [Ω] | 에너지 소산 |
| 강성 k [N/m] | 역정전용량 1/C [F⁻¹] | 탄성·전기 에너지 저장 |
에너지로 대응을 확인하기
움직이는 질량은 ½mv², 스프링은 ½kx²의 에너지를 저장하고 댐퍼는 bv²의 전력을 소산합니다. 인덕터는 ½Li², 축전기는 q²/(2C)를 저장하고 저항은 Ri²를 소산합니다. 이 비교는 미분식의 모양이 우연히 같은 것이 아님을 보여줍니다.
힘–전류, 즉 모빌리티 유추도 있지만 대응 방식이 다릅니다. 유도할 때는 한 방식을 선택해 끝까지 유지해야 합니다. 어느 쪽도 스프링이 실제 축전기라거나 단위가 같다는 뜻은 아닙니다.
유추를 실제 모터 모델과 혼동하지 않기
EIGENROOM의 DC 모터에는 전류 상태와 회전 속도 상태가 토크와 역기전력으로 실제 결합돼 있습니다. 이는 질량–RLC 식의 이름만 바꾼 유추와 다릅니다. 현재 Lab에는 스프링이나 독립 RLC 회로 시뮬레이터가 없습니다.
공통 구조를 이용해 무엇이 에너지를 저장·소산하고, 입력이 무엇이며, 기억해야 할 상태가 무엇인지 물어보세요. 그런 뒤 실제 장치의 방정식과 측정으로 돌아와야 합니다.
힘–전압 유추는 식과 에너지 역할의 대응이지 물리 단위나 실제 모터 배선의 동일성이 아닙니다. 무엇을 대응했는지 먼저 밝혀야 합니다.
이해도 확인: 변위 x를 전하 q에 대응하면 기계계 속도 dx/dt에는 어떤 전기량이 대응할까요?
i=dq/dt이므로 속도에는 전류가 대응합니다. 힘–전압 유추에서의 역할 대응이지 단위가 같다는 뜻은 아닙니다.