CHAPTER 02 / 모델링

장치를 방정식으로

모델은 질문에 중요한 작용을 남기고 나머지는 덜어냅니다.

이번 강의의 목표

수지식을 세우고 변화의 방향과 속도를 예측합니다.

피드백은 제어기가 오차로 무엇을 하는지 알려줍니다. 모델은 장치가 제어 명령에 어떻게 반응하는지 알려줍니다.

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

모터에서 전압이 곧바로 속도가 되지는 않습니다. 전압이 전류를 바꾸고, 전류가 회전시키는 힘인 토크를 만듭니다. 토크는 회전자를 가속하고 마찰과 부하는 이를 방해합니다. 모델은 이 원인과 결과의 연결을 방정식으로 적은 것입니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

먼저 무엇을 예측할지 정하세요. 속도를 예측하려면 토크의 균형을 씁니다. 구동 토크에서 방해하는 토크를 뺀 값은 관성과 각가속도의 곱입니다. 관성은 회전 속도를 바꾸기 어려운 정도를 나타냅니다. 속도 위의 점은 시간에 따른 변화율입니다. 전류도 예측하려면 전압·저항·인덕턴스의 전기적 관계를 더합니다. 질문에 필요한 효과를 남기고 양변의 단위를 확인하세요.

수식 읽는 법

J\dot\omega=\tau_m-b\omega-\tau_L

모터 토크에서 마찰과 부하 토크를 빼고 남은 토크가 회전자를 가속합니다.

기호의 뜻

$J$: 회전자 관성, 킬로그램 제곱미터
$\omega$: 축 속도, 초당 라디안
$\tau_m$: 모터 토크, 뉴턴미터
$b$: 점성 마찰 계수, 초당 라디안당 뉴턴미터
$\tau_L$: 부하 토크, 뉴턴미터
$\dot\omega$: 각가속도: 매초 속도가 변하는 양, rad/s²

이 수지식은 한순간의 가속도를 알려줍니다. 나중의 속도를 구하려면 가속도를 시간에 따라 누적해야 합니다. 실제 장치의 파라미터는 측정해야 하고 예제라면 가정을 밝혀야 합니다. 시뮬레이션이 매끄럽다고 실제 모터와 맞는 것은 아닙니다.

숫자로 풀어 보는 예제

처음 가속도 구하기

관성이 0.02킬로그램 제곱미터인 회전자를 생각합시다. 지금 모터 토크는 0.10뉴턴미터이고 마찰과 부하가 각각 0.02뉴턴미터를 씁니다.
남는 토크는 0.06뉴턴미터입니다.
$\tau_{\mathrm{net}}=0.10-0.02-0.02=0.06\ \mathrm{N\,m}$
관성으로 나누면 속도는 처음에 매초 초당 3라디안씩 증가합니다. 이 값만으로 최종 속도는 알 수 없습니다.
$\dot\omega=0.06/0.02=3\ \mathrm{rad/s^2}$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

모델은 질문에 맞춘 단순화

모터 방정식에 전류와 축 속도를 남기는 이유는 전압→전류→토크→속도의 경로를 설명하기 위해서입니다. 열에 따른 변화나 상세 정류 현상 같은 현실 효과는 생략합니다. 일부 학습 질문에는 적절하지만 모든 실제 모터가 똑같이 움직인다는 근거는 아닙니다.

상태를 고르기 전에 필요한 출력과 줄 수 있는 입력을 정하세요. 역진자는 막대가 순간적으로 수직이어도 카트의 위치와 속도가 위험을 알려주므로 각도 하나보다 많은 상태가 필요합니다.

조금 더 자세히

모터 식에서 단위를 따라가기

L di/dt=v−Ri−Kₑω의 모든 항은 전압 단위이고 J dω/dt=Kₜi−bω−τL의 모든 항은 토크 단위입니다. 단위 확인만으로 시뮬레이션 전에 많은 모델 오류를 찾을 수 있습니다. 인덕턴스가 전류의 급격한 변화를 막으므로 전류 상태는 보통 즉시 뛰지 않습니다.

파라미터를 고를 때 쓴 실험을 재현하는 데 그치지 않고 새 시험도 예측해야 쓸 만한 모델입니다. 뒤의 실험은 공칭 주파수 모델을 고정한 채 실제 모터를 바꾸어 모델 불일치를 드러냅니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

회전자 관성 J가 크면 같은 토크에도 가속도가 작습니다. 최종 속도뿐 아니라 속도를 바꾸는 시간을 비교해야 합니다.

실험실 모델 살펴보기

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측새 부하 토크를 즉시 거스르는 항은 무엇일까요?
한 가지 변경두 모터 상태방정식을 보고 Lab에서 짧은 부하 펄스를 주세요.
관찰하나의 재생 커서에서 속도·오차·실제 전압을 추적하세요.
설명τL가 어느 식에 들어가고 피드백이 나중에 v를 어떻게 바꾸는지 설명하세요.

주의

부드러운 애니메이션이 특정 실제 모터와의 일치를 보증하지 않습니다. 파라미터와 검증이 중요합니다.

이해 확인+

남는 토크가 같을 때 회전자 관성을 두 배로 하면 처음 가속도는 어떻게 되나요?

가속도는 남는 토크를 관성으로 나눈 값이므로 절반이 됩니다. 같은 순간과 부하에서 비교한 결과입니다.

다음 강의로 이어가기

변하는 시스템의 다음 움직임을 예측하려면 현재 값이 충분히 필요합니다. 그 값들을 상태라고 합니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Systems, Modeling, and Control II, lecture notes ↗

먼저 그려 보기

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

J\dot\omega=\tau_m-b\omega-\tau_L

모터 토크에서 마찰과 부하 토크를 빼고 남은 토크가 회전자를 가속합니다.

기호의 뜻

$J$: 회전자 관성, 킬로그램 제곱미터
$\omega$: 축 속도, 초당 라디안
$\tau_m$: 모터 토크, 뉴턴미터
$b$: 점성 마찰 계수, 초당 라디안당 뉴턴미터
$\tau_L$: 부하 토크, 뉴턴미터
$\dot\omega$: 각가속도: 매초 속도가 변하는 양, rad/s²

처음 가속도 구하기

관성이 0.02킬로그램 제곱미터인 회전자를 생각합시다. 지금 모터 토크는 0.10뉴턴미터이고 마찰과 부하가 각각 0.02뉴턴미터를 씁니다.

남는 토크는 0.06뉴턴미터입니다.

\tau_{\mathrm{net}}=0.10-0.02-0.02=0.06\ \mathrm{N\,m}

관성으로 나누면 속도는 처음에 매초 초당 3라디안씩 증가합니다. 이 값만으로 최종 속도는 알 수 없습니다.

\dot\omega=0.06/0.02=3\ \mathrm{rad/s^2}

모델은 질문에 맞춘 단순화

모터 식에서 단위를 따라가기

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측새 부하 토크를 즉시 거스르는 항은 무엇일까요?

한 가지 변경두 모터 상태방정식을 보고 Lab에서 짧은 부하 펄스를 주세요.

관찰하나의 재생 커서에서 속도·오차·실제 전압을 추적하세요.

설명τL가 어느 식에 들어가고 피드백이 나중에 v를 어떻게 바꾸는지 설명하세요.