움직일 수 있는가? 알아낼 수 있는가?
제어가능성은 구동기에, 관측가능성은 센서에 관한 성질입니다. 상태 피드백과 추정 전에 둘 다 확인해야 합니다.
먼저 그려 보기
카트 모터가 힘을 전달하지 못하면 막대 상태를 바꿀 수 없습니다. 위치만 측정하는 카메라는 카트가 어디 있는지는 알려 주지만 속도를 바로 보여주지 않습니다. 모델과 측정 기록으로 숨은 속도를 알아낼 수 있는지가 질문입니다.
모델이 말하는 것
ẋ=Ax+Bu에서 제어가능성은 이상적인 선형 모델에서 적절한 입력 이력으로 유한 시간에 상태를 옮길 수 있는지 묻습니다. 관측가능성은 입력을 알 때 출력 이력 y=Cx로 초기 상태를 복원할 수 있는지 묻습니다. 상태가 n개면 [B AB … A^(n−1)B] 제어가능성 행렬과 C, CA, …, CA^(n−1)로 만든 관측가능성 행렬이 각각 rank n이어야 완전한 성질을 갖습니다. 안정화 가능성과 검출 가능성은 제어·추정에 필요한 더 약한 조건이지만 기본 구분에는 rank 판정이 좋습니다.
rank[B AB … Aⁿ⁻¹B]=n; rank[C; CA; …; CAⁿ⁻¹]=nrank는 선택한 작동점의 A, B, C에 관한 값입니다. 힘 제한이나 잡음이 사라지는 것은 아닙니다.
이 이상적인 이중 적분기는 위치 센서로 제어가능·관측가능합니다. 잡음은 추정 품질을 바꾸지만 대수적 rank를 바꾸지는 않습니다.
손으로 계산할 수 있는 두 상태 예제
x=[위치, 속도], A=[[0,1],[0,0]], B=[0,1]ᵀ, C=[1,0]으로 두세요. 입력은 먼저 속도를 바꾸고 속도가 나중에 위치를 바꿉니다. [B AB]=[[0,1],[1,0]]의 rank가 2이므로 이상적인 모델에서 두 상태 모두 제어가능합니다.
센서는 위치만 보지만 [C; CA]=[[1,0],[0,1]] 역시 rank 2입니다. 잡음 없는 이상적 모델에서는 위치의 시간 기록으로 속도를 알아낼 수 있습니다. 실제로는 위치 잡음을 미분하기 어렵기 때문에 칼만 필터 같은 추정기를 사용합니다.
역진자에서 센서 구성을 밝혀야 하는 이유
현재 Lab의 칼만 실험은 카트 위치와 막대 각도를 측정하고 두 속도를 추정합니다. 센서 구성을 바꾸는 스위치는 없습니다. 이 고정 설정에서 추정이 잘 되는 모습을 보는 것은 직관에 도움이 되지만 모든 센서 배치의 관측가능성 판정은 아닙니다.
실험과 연결
칼만 실험에서 역진자의 어떤 상태를 측정하고 어떤 상태를 추정하는지 구분하세요. 같은 충격 뒤 실제 속도와 추정 속도를 비교하세요.
측정·숨은 상태 살펴보기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측위치·각도 측정으로 두 속도를 추정할 수 있을까요?
- 한 가지 변경칼만 프리셋과 시드는 고정하고 가정한 센서 분산만 바꾸세요.
- 관찰각도뿐 아니라 실제·추정 속도를 비교하세요.
- 설명수학적 관측가능성과 잡음 속 추정 품질을 구분하세요.
이상적 모델에서 rank가 충분해도 수치적 조건, 현실 센서 정확도, 구동기 힘, 레일 끝 근처의 안전한 복귀가 보장되지는 않습니다.
이해 확인+
어떤 상태를 측정할 수 있으면 제어할 수도 있다는 뜻일까요?
아닙니다. 관측가능성은 A·C, 제어가능성은 A·B에 달려 있습니다. 서로 다른 판정입니다.