CHAPTER 25 / 상태공간

움직일 수 있는가? 알아낼 수 있는가?

제어가능성은 구동기에, 관측가능성은 센서에 관한 성질입니다. 상태 피드백과 추정 전에 둘 다 확인해야 합니다.

이번 강의의 목표

입력으로 움직일 수 있는 상태와 시간에 따른 측정으로 알아낼 수 있는 상태를 구분합니다.

PID는 측정한 오차를 사용했습니다. 이제 상태 모델로 돌아와 구동기와 센서가 모든 상태에 영향을 주고 알아낼 수 있는지 묻습니다.

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

카트 모터가 힘을 전달하지 못하면 막대 상태를 바꿀 수 없습니다. 위치만 측정하는 카메라는 카트가 어디 있는지는 알려 주지만 속도를 바로 보여주지 않습니다. 모델과 측정 기록으로 숨은 속도를 알아낼 수 있는지가 질문입니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

제어가능성은 이상적인 선형 모델에서 입력으로 모든 상태를 움직일 수 있는지 묻습니다. 관측가능성은 알고 있는 입력과 시간에 따른 출력 기록으로 처음 상태를 알아낼 수 있는지 묻습니다. 측정량 하나로 충분할 수도 있습니다. 연속된 위치에서 속도를 알아낼 수 있기 때문입니다. 상태가 둘일 때 아래 행렬로 독립적인 방향이 둘인지 검사합니다. 계수, 즉 rank는 독립적인 열이나 행의 개수입니다. 완전한 계수는 해당 성질이 성립한다는 뜻이지 작은 제어 힘이나 잡음 속 정확한 추정까지 보장하지는 않습니다.

수식 읽는 법

\mathcal C=[B\ AB],\qquad \mathcal O=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}

상태가 둘인 선형 모델에서 각 검사를 통과하려면 해당 행렬에 독립적인 열이 두 개 있어야 합니다. 한 열에 상수를 곱해서 다른 열을 만들 수 없다는 뜻입니다.

기호의 뜻

$A,B,C$: 상태방정식의 상태·입력·출력 행렬
$\mathcal C$: 제어가능성 행렬: 입력에서 상태로 가는 경로
$\mathcal O$: 관측가능성 행렬: 상태에서 측정으로 가는 경로

검사는 명시한 선형 모델과 센서 배치에 대한 것입니다. 작동점이 바뀌면 결과도 달라질 수 있습니다. 힘 제한과 측정 잡음은 따로 확인해야 합니다.

두 상태 예제 / 위치와 속도

이 이상적인 이중 적분기는 위치 센서로 제어가능·관측가능합니다. 잡음은 추정 품질을 바꾸지만 대수적 rank를 바꾸지는 않습니다.

숫자로 풀어 보는 예제

위치 센서로 속도를 알아낼 수 있을까?

단위 질량 카트의 위치와 속도를 상태로 둡니다. 힘은 속도를 바꾸고 센서는 위치를 읽습니다. 일관된 SI 단위를 사용합니다.
$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$
입력은 속도에 직접 영향을 주고 움직임을 거쳐 위치에도 영향을 줍니다. 두 열은 독립적입니다.
$\mathcal C=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$
위치는 직접 측정하고 그 변화율에서 속도를 알아냅니다. 이상적인 시간 기록에서는 두 상태를 모두 알아낼 수 있지만 잡음이 있으면 추정이 어려워집니다.
$\mathcal O=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

손으로 계산할 수 있는 두 상태 예제

x=[위치, 속도], A=[[0,1],[0,0]], B=[0,1]ᵀ, C=[1,0]으로 두세요. 입력은 먼저 속도를 바꾸고 속도가 나중에 위치를 바꿉니다. [B AB]=[[0,1],[1,0]]의 rank가 2이므로 이상적인 모델에서 두 상태 모두 제어가능합니다.

센서는 위치만 보지만 [C; CA]=[[1,0],[0,1]] 역시 rank 2입니다. 잡음 없는 이상적 모델에서는 위치의 시간 기록으로 속도를 알아낼 수 있습니다. 실제로는 위치 잡음을 미분하기 어렵기 때문에 칼만 필터 같은 추정기를 사용합니다.

조금 더 자세히

역진자에서 센서 구성을 밝혀야 하는 이유

현재 Lab의 칼만 실험은 카트 위치와 막대 각도를 측정하고 두 속도를 추정합니다. 센서 구성을 바꾸는 스위치는 없습니다. 이 고정 설정에서 추정이 잘 되는 모습을 보는 것은 직관에 도움이 되지만 모든 센서 배치의 관측가능성 판정은 아닙니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

칼만 실험에서 역진자의 어떤 상태를 측정하고 어떤 상태를 추정하는지 구분하세요. 같은 충격 뒤 실제 속도와 추정 속도를 비교하세요.

측정·숨은 상태 살펴보기

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측위치·각도 측정으로 두 속도를 추정할 수 있을까요?
한 가지 변경칼만 프리셋과 시드는 고정하고 가정한 센서 분산만 바꾸세요.
관찰각도뿐 아니라 실제·추정 속도를 비교하세요.
설명수학적 관측가능성과 잡음 속 추정 품질을 구분하세요.

주의

이상적 모델에서 rank가 충분해도 수치적 조건, 현실 센서 정확도, 구동기 힘, 레일 끝 근처의 안전한 복귀가 보장되지는 않습니다.

이해 확인+

어떤 상태를 측정할 수 있으면 제어할 수도 있다는 뜻일까요?

아닙니다. 관측가능성은 A·C, 제어가능성은 A·B에 달려 있습니다. 서로 다른 판정입니다.

다음 강의로 이어가기

상태를 제어할 수 있다면 피드백 이득으로 극점을 옮길 수 있습니다. 다음에는 원하는 응답에 맞는 이득을 계산합니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Controllability and observability ↗

먼저 그려 보기

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

\mathcal C=[B\ AB],\qquad \mathcal O=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}

기호의 뜻

$A,B,C$: 상태방정식의 상태·입력·출력 행렬
$\mathcal C$: 제어가능성 행렬: 입력에서 상태로 가는 경로
$\mathcal O$: 관측가능성 행렬: 상태에서 측정으로 가는 경로

검사는 명시한 선형 모델과 센서 배치에 대한 것입니다. 작동점이 바뀌면 결과도 달라질 수 있습니다. 힘 제한과 측정 잡음은 따로 확인해야 합니다.

두 상태 예제 / 위치와 속도

이 이상적인 이중 적분기는 위치 센서로 제어가능·관측가능합니다. 잡음은 추정 품질을 바꾸지만 대수적 rank를 바꾸지는 않습니다.

위치 센서로 속도를 알아낼 수 있을까?

단위 질량 카트의 위치와 속도를 상태로 둡니다. 힘은 속도를 바꾸고 센서는 위치를 읽습니다. 일관된 SI 단위를 사용합니다.

A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}

입력은 속도에 직접 영향을 주고 움직임을 거쳐 위치에도 영향을 줍니다. 두 열은 독립적입니다.

\mathcal C=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}

위치는 직접 측정하고 그 변화율에서 속도를 알아냅니다. 이상적인 시간 기록에서는 두 상태를 모두 알아낼 수 있지만 잡음이 있으면 추정이 어려워집니다.

\mathcal O=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

손으로 계산할 수 있는 두 상태 예제

역진자에서 센서 구성을 밝혀야 하는 이유

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측위치·각도 측정으로 두 속도를 추정할 수 있을까요?

한 가지 변경칼만 프리셋과 시드는 고정하고 가정한 센서 분산만 바꾸세요.

관찰각도뿐 아니라 실제·추정 속도를 비교하세요.

설명수학적 관측가능성과 잡음 속 추정 품질을 구분하세요.