계단응답 읽기
목표를 한 번 바꾸면 속도·오버슈트·정착·잔류 오차가 드러납니다.
목표와 허용대역을 명시하고 응답 곡선에서 오버슈트와 정착을 읽습니다.
블록선도는 신호의 연결을 보여줍니다. 계단응답은 목표가 갑자기 바뀐 뒤 폐루프가 어떻게 움직이는지 보여줍니다.
앞 강의 다시 보기: 신호를 따라가며 블록을 줄이다먼저 그려 보기
빠른 응답이 언제나 좋은 것은 아닙니다. 목표에 빨리 도달해도 크게 넘어갔다가 흔들리거나 구동기 힘을 지나치게 쓸 수 있습니다.
개념을 하나씩 연결하기
계단입력은 갑자기 바뀐 뒤 일정하게 유지되는 입력입니다. 그 응답에서 세 가지를 물어보세요. 출력이 정한 구간, 흔히 최종 변화량의 10%에서 90%까지 오르는 데 얼마나 걸리나요? 목표를 얼마나 지나치나요? 허용 오차 범위에 들어가 계속 머무는 때는 언제인가요? 각각 상승시간·오버슈트·정착시간입니다. 구간과 오차 범위, 관측 시간을 함께 적으세요. 기록이 끝날 때까지 정착하지 않았다면 기록 안에서는 정착하지 않았다고 보고합니다.
수식 읽는 법
0이 아닌 계단 목표와 적절한 시작점에서 오버슈트는 목표를 넘은 최대량을 목표 크기의 백분율로 나타냅니다.
기호의 뜻
- 0이 아닌 계단 목표, 출력 단위
- 출력의 최대값, 출력 단위
- 백분율 오버슈트, 퍼센트
예제는 0에서 양의 목표로 계단 변화하는 경우입니다. 다른 초기값이나 음의 계단에는 변화의 방향과 크기에 맞는 정의가 필요합니다. 짧은 기록에서 최대값은 읽을 수 있어도 장기 안정성을 증명할 수는 없습니다.
속도 계단응답 읽기
속도 루프가 0에서 시작해 초당 10라디안을 목표로 합니다. 측정된 최고 속도는 초당 12회전입니다.
최고점은 목표보다 2 높으므로 오버슈트는 20%입니다.
2% 정착대역은 9.8부터 10.2까지입니다. 5초부터 계속 그 안에 머문다면 정착시간은 2% 대역 기준 5초라고 적습니다.
더 자세한 설명과 모델의 가정
계단 응답을 단계별로 읽기
계단 입력에서는 목표가 먼저 바뀌고 측정 출력은 보통 곧바로 따라 뛰지 못합니다. 상승시간은 초반 상승, 오버슈트는 최종 목표를 넘은 최고점, 정착시간은 명시한 허용 범위에 들어와 계속 머무는 시점을 봅니다. 최종 오차는 실험 끝 무렵의 출력과 목표를 비교합니다. 같은 곡선에 던지는 서로 다른 질문입니다.
목표를 한 번 통과했다고 정착한 것은 아닙니다. 허용 범위를 다시 벗어나면 시간을 계속 세야 합니다. 기록이 끝날 때도 움직이고 있다면 정착시간을 꾸며내지 말고 ‘정착하지 않음’으로 표시해야 합니다.
지표에는 조건이 붙습니다
백분율 오버슈트에는 의미 있는 0이 아닌 목표 변화가 필요합니다. 상승시간과 보통의 백분율 오버슈트는 목표 계단 추종 지표이므로 초기 기울기에서 복구하거나 외란 펄스를 받은 역진자에 그대로 적용하지 않습니다. 그런 실험에서는 최대 각도·레일 이동·복구를 보세요.
두 실험을 비교할 때 목표·초기 상태·부하·잡음 시드·실험 길이를 고정하세요. 전압을 더 써서 빨라진 응답은 설계의 절충이므로 속도 옆에서 제어 노력과 포화도 함께 읽어야 합니다.
눈으로 볼 수 있는 2차 시스템 만들기
수평 질량에 스프링과 점성 댐퍼가 연결되어 있습니다. 오른쪽을 양의 변위 x로 정하세요. 외력 F는 오른쪽으로 밀고 스프링은 −kx, 댐퍼는 −c x′로 운동에 저항합니다. 뉴턴 법칙은 m x″ = F − c x′ − kx입니다. 가속도에는 위치와 속도가 모두 필요하므로 상태는 위치 하나가 아닌 [x, x′]입니다.
초기 상태가 0일 때 힘→위치 전달함수는 G(s)=1/(ms²+cs+k)입니다. 분모를 m으로 나누면 s²+2ζωn s+ωn²이고 ωn=√(k/m), ζ=c/(2√(km))입니다. 물리 모델 분자는 1/m이며 단위 이득 표준 계단 모델의 ωn²와 다릅니다. 여기서 힘→위치 정적 이득은 1/k m/N입니다.
놓아 준 운동과 힘에 대한 응답 구분하기
자유응답 프리셋에서는 F=0이지만 x(0)=0.25 m입니다. 스프링에 에너지가 저장되어 있어 외력이 없어도 질량이 움직입니다. 이것이 영입력 응답입니다. 계단 프리셋에서는 위치·속도가 0이고 t=0부터 일정 힘이 들어옵니다. 이것이 영상태 응답입니다. 이 선형 모델에서 초기 상태와 외력이 함께 있으면 두 응답의 합이 됩니다.
에너지로 방정식과 애니메이션을 연결하세요. E=½m(x′)²+½kx²는 운동·탄성에너지의 합이고 미분값은 F x′−c(x′)²입니다. c≥0인 댐퍼는 에너지를 제거하며 저장하지 않습니다. F=0, c=0이면 위치가 반복해서 0을 지나도 에너지는 일정합니다. 평형 위치를 통과하는 것과 정지하는 것은 다릅니다.
감쇠를 키운다고 계속 빨라지지 않는다
m=1 kg, k=16 N/m이면 ωn=4 rad/s, 임계감쇠는 ccrit=8 N·s/m입니다. 같은 2 N 계단·초기 상태 0에서 c=1.6, 8, 16을 비교하세요. 양의 감쇠에서는 모두 x∞=F/k=0.125 m로 갑니다. 감쇠는 과도응답을 바꾸고 이 정적 평형을 바꾸지 않습니다.
부족감쇠에서는 줄어드는 진동이 생깁니다. 임계감쇠는 복소 극점과 실수 극점의 경계입니다. 과감쇠에서는 c가 커질수록 느린 실수 극점이 0에 가까워져 꼬리가 길어질 수 있습니다. m·k가 고정된 이 계열의 영상태 계단응답에서 임계감쇠가 가장 빠른 단조 응답을 주지만 모든 목적·초기조건에 보편적인 최적값은 아닙니다.
세 주파수는 서로 다른 질문에 답한다
ωn은 비감쇠 고유진동수입니다. ζ<1에서 자유진동 주파수는 ωd=ωn√(1−ζ²)입니다. 감쇠가 있는 힘→변위 이득은 0<ζ<1/√2에서만 ωr=ωn√(1−2ζ²)에 공진 최대점을 가집니다. ζ=0.2이면 각각 4, 약 3.92, 약 3.84 rad/s입니다. rad/s를 2π로 나누면 Hz이며 4 rad/s 대신 4 Hz를 입력하면 다른 실험입니다.
줄어드는 과도응답을 무시할 수 있을 때 정현파 정상 진폭은 |F0|/√((k−mω²)²+(cω)²)입니다. 화면의 첫 최대값은 그 정상 진폭과 다릅니다. 무감쇠에서는 자유응답이 사라지지 않으며 ω=ωn의 0이 아닌 정현파 힘은 진폭을 키워 유계 정상상태를 만들지 않습니다. 주파수 패널은 대상 분석이며 피드백 루프 여유 계산이 아닙니다.
예제를 실험과 연결하기
목표와 부하를 같게 두고 모터 실험 두 개를 비교하세요. 하나는 더 빨리 정착해도 전압 피크가 클 수 있습니다. 속도와 제어 입력을 함께 봐야 합니다.
물리적인 2차 응답 비교하기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측같은 2 N 계단에서 감쇠만 커지면 최종 위치가 바뀔까요?
- 한 가지 변경같은 힘, 다른 과도응답 실험에서 c=1.6을 고정하고 c만 8, 16 N·s/m로 바꾸세요.
- 관찰평형선·오버슈트·뒤쪽 꼬리를 비교하세요. 초기 상태·질량·강성·힘이 일치하는지 확인하세요.
- 설명공통 평형은 kx∞=F, 서로 다른 경로는 ms²+cs+k의 극점으로 설명하세요. 기록이 짧으면 왜 미정착인지도 설명해 보세요.
정의와 조건이 빠진 지표는 오해를 부릅니다. 포화가 있으면 교과서의 선형 계단응답 공식이 맞지 않을 수 있습니다.
이해 확인+
정착시간을 말할 때 허용대역을 왜 함께 밝혀야 할까요?
같은 응답도 2%와 5% 대역의 정착시간이 달라질 수 있기 때문입니다.다음 강의로 이어가기
유한 시간의 보기 좋은 곡선만으로 안정성이나 최종 오차 0을 증명할 수는 없습니다. 다음에 각각 확인합니다.