CHAPTER 28 / 상태 피드백

LQR: 좋은 균형의 비용 정하기

LQR은 선형 모델에서 상태 오차와 제어 노력의 절충을 정해 상태 피드백 이득을 계산합니다.

이번 강의의 목표

LQR의 상태·입력 가중치를 읽고 이를 속도를 직접 정하는 손잡이로 오해하지 않습니다.

피드백과 관측기의 극점을 고를 수 있게 됐습니다. 하지만 빠른 응답은 더 큰 힘을 요구할 수 있습니다. LQR은 이 설계 절충을 비용으로 드러냅니다.

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

막대를 수직으로 두는 것만이 목표는 아닙니다. 각도가 괜찮아 보여도 카트는 레일 밖으로 달릴 수 있습니다. 위치·속도·각도·각속도 오차를 줄이면서 지나친 힘은 피하고 싶습니다. LQR은 이 선호를 비용함수로 표현합니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

LQR은 선형 이차 조절기입니다. 선형은 모델을, 이차는 상태 오차와 입력의 제곱으로 비용을 세는 방식을 뜻합니다. 상태 가중치 Q는 어떤 편차가 중요한지, 입력 가중치 R은 제어 입력의 비용이 얼마나 큰지 정합니다. 이 방법은 명시한 가정에서 누적 비용을 최소화하는 피드백 이득을 구합니다. 가중치는 설계 선택이지 정착시간을 직접 지정하는 값이 아닙니다. 위치·속도·각도의 단위가 다르므로 일관된 척도를 쓰세요.

수식 읽는 법

J=\int_0^\infty(x^{\mathsf T}Qx+u^{\mathsf T}Ru)\,dt,\qquad u=-Kx

LQR은 정한 선형 모델에서 상태·입력 비용의 누적값을 최소화하는 이득을 고릅니다. Q는 상태 비용을 음수가 되지 않게, R은 0이 아닌 입력의 비용을 양수가 되게 정합니다. 불안정 상태를 제어할 수 있고 적절한 비용을 부여하는 조건도 필요합니다.

기호의 뜻

$J$: 전체 비용, 이 강의에서는 회전자 관성이 아님
$x,u$: 상태 편차와 제어 입력
$Q,R$: 상태·입력 비용을 비교 가능하게 만드는 가중치
$K$: 모델과 가중치로 계산한 피드백 이득
$\mathsf T$: 전치: 열을 행으로 바꾸는 연산

계산 예제는 연속시간 1상태 적분기입니다. 역진자 실험실은 설계 모델의 이산시간 이득을 계산해 비선형·힘 제한 시뮬레이션에 적용합니다. 간단한 제곱근 공식은 그 전체 모델에 적용되지 않으며 제한된 실제 움직임의 최적성도 보장되지 않습니다.

숫자로 풀어 보는 예제

상태 하나에서 비용 비교하기

상태 변화율이 입력인 정규화된 1상태 적분기를 씁니다. 이 특별한 연속시간 예의 최적 이득은 Q를 R로 나눈 값의 제곱근입니다.
$\dot x=u,\qquad K=\sqrt{Q/R}$
Q와 R이 모두 1이면 이득은 1입니다. 폐루프 상태의 시정수는 정규화 시간으로 1입니다.
$Q=R=1\Rightarrow K=1,\quad\dot x=-x$
Q는 1로 두고 R을 4로 키우면 이득은 0.5입니다. 상태 2에서 초기 입력은 −2 대신 −1입니다. 입력은 작아지고 감쇠는 느려집니다. 일반 행렬 문제에서는 리카티 방정식을 풀어야 합니다.
$K=\sqrt{1/4}=0.5,\qquad u=-0.5(2)=-1$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

Q나 R을 바꾸면 무엇이 달라질까?

각도 벌점을 키우면 선형 설계에서 다른 항보다 각도 오차를 더 중요하게 봅니다. 힘 벌점을 키우면 입력을 덜 사용하도록 합니다. 이는 설계 선호이지 비선형·포화 응답에서 모든 지표가 반드시 한 방향으로 바뀐다는 보장은 아닙니다. 같은 초기 각도·충격에서 실제 각도, 위치, 적용 힘을 비교하세요.

전체 상태 LQR은 제어기가 필요한 상태를 모두 안다고 가정합니다. 실제 하드웨어에서 위치와 각도만 측정한다면 속도를 추정할 관측기가 필요합니다. 다음 칼만·LQG 강의로 이어지는 이유입니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

역진자 LQR 실행 하나를 고정하고 각도 비용 또는 힘 비용만 바꾼 뒤 같은 충격에서 위치 복귀, 각도, 실제 힘을 비교하세요.

LQR 가중치 조절

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측각도를 더 중시하면 카트 이동이나 힘은 어떻게 변할까요?
한 가지 변경LQR 결과를 고정하고 Q 또는 R 설정 하나만 바꾸세요.
관찰막대 각도·카트 위치·실제 힘·레일 상태를 비교하세요.
설명보편적인 최적 가중치라 하지 말고 절충을 설명하세요.

주의

LQR이 swing-up을 설계하거나 힘·레일의 절대 제한을 강제로 지키게 해주지는 않습니다. 큰 기울기나 힘 포화는 국소 설계 예측을 깨뜨릴 수 있습니다.

이해 확인+

Q의 원소를 키우면 실제 역진자 실행이 항상 더 좋아질까요?

아닙니다. 선형 설계의 우선순위를 바꾸는 것이며 결과는 상태 척도, 다른 가중치, 모델 오차, 물리적 제약에도 달려 있습니다.

다음 강의로 이어가기

LQR에도 상태 정보가 필요합니다. 칼만 필터는 불확실성 추정치를 바탕으로 모델 예측과 잡음 섞인 측정을 얼마나 믿을지 정합니다.

더 읽어보기

MIT OCW — LQR lecture ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

J=\int_0^\infty(x^{\mathsf T}Qx+u^{\mathsf T}Ru)\,dt,\qquad u=-Kx

기호의 뜻

$J$: 전체 비용, 이 강의에서는 회전자 관성이 아님
$x,u$: 상태 편차와 제어 입력
$Q,R$: 상태·입력 비용을 비교 가능하게 만드는 가중치
$K$: 모델과 가중치로 계산한 피드백 이득
$\mathsf T$: 전치: 열을 행으로 바꾸는 연산

상태 하나에서 비용 비교하기

상태 변화율이 입력인 정규화된 1상태 적분기를 씁니다. 이 특별한 연속시간 예의 최적 이득은 Q를 R로 나눈 값의 제곱근입니다.

\dot x=u,\qquad K=\sqrt{Q/R}

Q와 R이 모두 1이면 이득은 1입니다. 폐루프 상태의 시정수는 정규화 시간으로 1입니다.

Q=R=1\Rightarrow K=1,\quad\dot x=-x

Q는 1로 두고 R을 4로 키우면 이득은 0.5입니다. 상태 2에서 초기 입력은 −2 대신 −1입니다. 입력은 작아지고 감쇠는 느려집니다. 일반 행렬 문제에서는 리카티 방정식을 풀어야 합니다.

K=\sqrt{1/4}=0.5,\qquad u=-0.5(2)=-1

Q나 R을 바꾸면 무엇이 달라질까?

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측각도를 더 중시하면 카트 이동이나 힘은 어떻게 변할까요?

한 가지 변경LQR 결과를 고정하고 Q 또는 R 설정 하나만 바꾸세요.

관찰막대 각도·카트 위치·실제 힘·레일 상태를 비교하세요.

설명보편적인 최적 가중치라 하지 말고 절충을 설명하세요.