LQR: 좋은 균형의 비용 정하기
LQR은 선형 모델에서 상태 오차와 제어 노력의 절충을 정해 상태 피드백 이득을 계산합니다.
먼저 그려 보기
막대를 수직으로 두는 것만이 목표는 아닙니다. 각도가 괜찮아 보여도 카트는 레일 밖으로 달릴 수 있습니다. 위치·속도·각도·각속도 오차를 줄이면서 지나친 힘은 피하고 싶습니다. LQR은 이 선호를 비용함수로 표현합니다.
모델이 말하는 것
정해진 선형 모델 ẋ=Ax+Bu에 대해 LQR은 xᵀQx+uᵀRu의 적분을 최소화하고 가정하에서 u=−Kx를 만듭니다. Q는 선택한 상태 오차를, 양의 R은 입력 사용을 벌점으로 줍니다. 상태마다 단위가 달라 크기 기준 없이 Q 숫자를 단순 비교할 수 없습니다. Lab의 역진자는 계산된 이득을 힘·레일 제한이 있는 비선형 동역학에 적용하므로 교과서 최적성이 그 상황까지 보장되지는 않습니다.
J=∫₀∞(xᵀQx+uᵀRu)dt; u=−KxK는 정해진 작동점·모델·Q/R에서 계산합니다. 각 행렬 원소를 PID 게인처럼 임의로 보는 방식이 아닙니다.
Q나 R을 바꾸면 무엇이 달라질까?
각도 벌점을 키우면 선형 설계에서 다른 항보다 각도 오차를 더 중요하게 봅니다. 힘 벌점을 키우면 입력을 덜 사용하도록 합니다. 이는 설계 선호이지 비선형·포화 응답에서 모든 지표가 반드시 한 방향으로 바뀐다는 보장은 아닙니다. 같은 초기 각도·충격에서 실제 각도, 위치, 적용 힘을 비교하세요.
전체 상태 LQR은 제어기가 필요한 상태를 모두 안다고 가정합니다. 실제 하드웨어에서 위치와 각도만 측정한다면 속도를 추정할 관측기가 필요합니다. 다음 칼만·LQG 강의로 이어지는 이유입니다.
실험과 연결
역진자 LQR 실행 하나를 고정하고 각도 비용 또는 힘 비용만 바꾼 뒤 같은 충격에서 위치 복귀, 각도, 실제 힘을 비교하세요.
LQR 가중치 조절조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측각도를 더 중시하면 카트 이동이나 힘은 어떻게 변할까요?
- 한 가지 변경LQR 결과를 고정하고 Q 또는 R 설정 하나만 바꾸세요.
- 관찰막대 각도·카트 위치·실제 힘·레일 상태를 비교하세요.
- 설명보편적인 최적 가중치라 하지 말고 절충을 설명하세요.
LQR이 swing-up을 설계하거나 힘·레일의 절대 제한을 강제로 지키게 해주지는 않습니다. 큰 기울기나 힘 포화는 국소 설계 예측을 깨뜨릴 수 있습니다.
이해 확인+
Q의 원소를 키우면 실제 역진자 실행이 항상 더 좋아질까요?
아닙니다. 선형 설계의 우선순위를 바꾸는 것이며 결과는 상태 척도, 다른 가중치, 모델 오차, 물리적 제약에도 달려 있습니다.