CHAPTER 18 / 극점 기반 설계

근궤적: 극점의 이동

근궤적은 게인이 바뀔 때 폐루프 극점이 어디로 움직이는지 보여줍니다.

이번 강의의 목표

양의 이득이 변할 때 극점 두 개를 따라가고, 이득을 올리면 항상 좋아진다고 가정하지 않습니다.

시스템 형식으로 추종 오차의 종류를 예측했습니다. 이득을 고르면서 과도응답 안정성을 보려면 폐루프 극점을 따라가야 합니다.

앞 강의 다시 보기: 적분기를 세고 오차를 확인하다

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

수많은 게인을 시간 시뮬레이션으로 일일이 시험하는 대신 K를 0에서 키울 때 가능한 폐루프 극점 위치를 따라갑니다. 오른쪽 반평면으로 넘어가면 불안정해질 수 있습니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

근궤적은 이득 하나가 바뀔 때 폐루프 극점들이 가는 길입니다. 대상과 피드백 연결은 고정하고 양의 이득 K를 올립니다. 각 K에서 같은 특성방정식을 풉니다. 해들을 그리면 극점이 진동하는 쌍으로 갈라지거나 불안정한 오른쪽 반평면으로 넘어가는 때를 볼 수 있습니다. 이득을 올려도 정착이 항상 빨라지지 않는 이유도 드러납니다. 예제의 2차식으로 복잡한 작도 규칙 전에 이 생각을 확인합니다.

수식 읽는 법

1+K G_0(s)=0

단위 음의 피드백에서 이 특성방정식은 K에 따른 폐루프 극점 위치를 정합니다.

기호의 뜻

$K$: 조정하는 양의 루프 이득
$G_0(s)$: 개루프 전달함수에서 고정된 부분
$s$: 복소 주파수, 초의 역수

나머지 선형 루프는 고정하고 스칼라 이득 하나만 바꾸는 궤적입니다. 극점 계산에는 전압 제한이 포함되지 않습니다. 실험에서는 예측한 움직임과 실제 입력을 함께 비교하세요.

근궤적 / G₀(s)=1/[s(s+2)]

K가 0에서 커지면 0과 −2의 극점이 −1에서 만나고 −1 ± j√(K−1)로 갈라집니다. 이 예는 K>0에서 우반평면으로 넘어가지 않습니다.

숫자로 풀어 보는 예제

두 극점이 진동하는 한 쌍이 되기

극점이 0과 −2인 정규화된 개루프 대상을 씁니다.
$G_0(s)=\frac1{s(s+2)}$
폐루프 식은 2차식입니다. 이득 1에서는 −1에 중복 극점이 있습니다.
$s^2+2s+K=0,\quad K=1\Rightarrow s=-1$
이득 4에서는 극점의 실수부가 −1이고 허수부는 ±√3입니다. 감쇠는 유지되지만 진동이 나타납니다.
$K=4\Rightarrow s=-1\pm j\sqrt3$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

폐루프 극점이 그리는 곡선

L(s)=KG₀(s)로 쓰세요. K를 하나 정할 때마다 1+KG₀(s)=0을 풀어 폐루프 극점을 표시합니다. K를 변화시키며 그 점을 이은 것이 근궤적입니다. 모터 속도 대 시간 그래프가 아니며 각 점에는 해당 이득이 있습니다.

G₀=1/[s(s+2)]이면 방정식은 s²+2s+K=0입니다. 극점은 0과 −2에서 시작해 K=1일 때 −1에서 만나고, 이후 −1±j√(K−1)이 됩니다. K>1에서 실수부는 −1이므로 이 예는 우반평면으로 넘어가지 않으면서 진동성은 커집니다.

조금 더 자세히

올바른 안정 경계를 사용하기

연속시간 모델에서는 폐루프 극점이 허수축을 넘어 우반평면에 들어가면 불안정한 선형 모드가 됩니다. 샘플링 제어기에서는 z평면을 쓰며 경계는 단위원 |z|=1입니다. Lab의 주파수 작업대는 이 이산 경계를 사용하므로 s평면 그림처럼 읽지 마세요.

Lab 근궤적은 비례 제어기만 변화시킵니다. I·D·리드·래그를 켜면 현재 시간 실험에는 다른 특성방정식이 적용됩니다. 근궤적과 시간 곡선은 제어기와 공칭 모델 가정이 같을 때만 비교하세요.

INTERACTIVE / G(s) = 1 / (s(s+1)(s+2))K를 키우며 폐루프 극점을 따라가 보세요

게인 K2.00

극점: -2.52, -0.24 − 0.86j, -0.24 + 0.86j. 안정: 모든 극점이 좌반평면에 있습니다. 복소 극점 쌍의 감쇠비 ≈ 0.27. 이 루프에서는 K = 6, ω = √2 rad/s에서 극점 쌍이 허수축을 지납니다. ×는 개루프 극점입니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

모터 실험에서 Kp를 올리면 처음에는 빨라지지만 어느 지점부터 힘과 진동이 커질 수 있습니다. 근궤적은 선형 모델에서 그 뒤의 극점 이동을 설명합니다.

모터 이산 근궤적 열기

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측K를 올리면 불안정해지지 않고도 더 진동할 수 있을까요?
한 가지 변경K=.25, 1, 4에서 s²+2s+K=0을 풀어 보세요.
관찰실수부와 허수부를 표시하고 이 장의 그림과 비교하세요.
설명진동성에 대한 주장과 안정성에 대한 주장을 구분하세요.

주의

근궤적은 시간응답 자체가 아닙니다. 극점으로 경향을 추론한 뒤 실제 모델과 한계에서 확인하세요.

이해 확인+

폐루프 극점이 오른쪽 반평면으로 넘어가면?

해당 모드가 지수적으로 커져 선형 폐루프가 불안정해집니다.

다음 강의로 이어가기

하나의 이득은 모든 주파수를 함께 바꿉니다. 리드와 래그 보상기는 주파수 범위마다 다르게 작용합니다.

더 읽어보기

University of Michigan CTMS — Root locus design ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

1+K G_0(s)=0

단위 음의 피드백에서 이 특성방정식은 K에 따른 폐루프 극점 위치를 정합니다.

기호의 뜻

$K$: 조정하는 양의 루프 이득
$G_0(s)$: 개루프 전달함수에서 고정된 부분
$s$: 복소 주파수, 초의 역수

근궤적 / G₀(s)=1/[s(s+2)]

K가 0에서 커지면 0과 −2의 극점이 −1에서 만나고 −1 ± j√(K−1)로 갈라집니다. 이 예는 K>0에서 우반평면으로 넘어가지 않습니다.

두 극점이 진동하는 한 쌍이 되기

극점이 0과 −2인 정규화된 개루프 대상을 씁니다.

G_0(s)=\frac1{s(s+2)}

폐루프 식은 2차식입니다. 이득 1에서는 −1에 중복 극점이 있습니다.

s^2+2s+K=0,\quad K=1\Rightarrow s=-1

이득 4에서는 극점의 실수부가 −1이고 허수부는 ±√3입니다. 감쇠는 유지되지만 진동이 나타납니다.

K=4\Rightarrow s=-1\pm j\sqrt3

폐루프 극점이 그리는 곡선

올바른 안정 경계를 사용하기

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측K를 올리면 불안정해지지 않고도 더 진동할 수 있을까요?

한 가지 변경K=.25, 1, 4에서 s²+2s+K=0을 풀어 보세요.

관찰실수부와 허수부를 표시하고 이 장의 그림과 비교하세요.

설명진동성에 대한 주장과 안정성에 대한 주장을 구분하세요.