작은 충격들을 모아 응답 만들기
임펄스 응답은 LTI 시스템의 재사용 가능한 반응 무늬이고, 컨볼루션은 시간 이동한 반응들을 더합니다.
먼저 그려 보기
종을 여러 번 두드리면 매번 새로운 잔향이 시작됩니다. 종이 선형으로 반응하면 들리는 소리는 겹친 잔향들의 합입니다. 연속적으로 바뀌는 입력도 아주 작은 충격들의 모음으로 생각할 수 있습니다.
모델이 말하는 것
초기 상태가 0인 연속시간 LTI 시스템에서 h(t)는 이상적인 단위 임펄스에 대한 출력입니다. 입력 u(t)를 크기와 시각이 다른 충격들의 합으로 생각하면 출력은 y(t)=∫h(t−τ)u(τ)dτ입니다. 인과적 시스템이면 과거와 현재 부분만 적분하면 됩니다. 계단은 충격이 누적된 것으로 볼 수 있어 적절한 조건에서 계단응답은 h의 적분입니다.
y(t)=(h*u)(t)=∫₀ᵗ h(t−τ)u(τ)dτ [causal, zero-state]이 적분식은 보통의 인과 신호와 별도의 직접 전달 임펄스 항이 없는 경우를 나타냅니다. 사용할 때 모델 조건을 밝혀야 합니다.
이상화한 충격마다 이동된 응답이 시작되고 LTI 출력에서는 이를 더합니다. Lab의 유한 펄스는 이상적 임펄스가 아닙니다.
한 줄 예제
t≥0에서 h(t)=e^(−t)인 1차 시스템에 단위 계단 u(t)=1을 주면 y(t)=∫₀ᵗ e^(−(t−τ))dτ=1−e^(−t)입니다. 계단 곡선은 0에서 시작해 1에 가까워집니다. 같은 동역학을 다른 시험 입력으로 본 것입니다.
이산시간 제어기에서는 적분이 가중합으로 바뀝니다. 그사이 대상은 연속적으로 움직일 수 있으므로 제어기 샘플 주기와 물리 적분 간격을 혼동하지 마세요.
유한한 툭 치기는 Dirac 임펄스가 아니다
Lab의 모터 ‘Tap load’는 시간이 유한한 토크 펄스입니다. 외란의 시작과 끝을 보기에는 좋지만 면적과 형태는 크기·지속시간에 따라 달라집니다. 높이를 고정한 채 시간을 줄이면 전체 충격량도 줄어드므로 단위 Dirac 임펄스를 자동으로 근사하지는 않습니다.
실험과 연결
모터의 부하 펄스 한 번을 고정하고 지속시간만 바꾸세요. 속도가 언제 떨어지고 얼마나 떨어졌다가 언제 회복하는지 비교하세요.
유한 부하 펄스 바꾸기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측긴 펄스가 보통 모터에 더 오래 영향을 줄까요?
- 한 가지 변경펄스 결과 하나를 고정한 뒤 지속시간만 바꾸세요.
- 관찰외란 구간·속도 하강·회복을 비교하세요.
- 설명유한 펄스와 수학적 단위 임펄스를 구분해 설명하세요.
고정된 h 하나로 전체 응답을 예측하려면 같은 LTI 모델과 영 초기상태 조건이 유지되어야 합니다. 실행 중 포화나 게인 변경은 이 단순한 조건을 깨뜨립니다.
이해 확인+
계단응답에 임펄스 응답 정보가 들어 있는 이유는 무엇일까요?
계단은 충격이 누적된 입력으로 볼 수 있고, 적절한 인과 LTI 시스템에서는 계단응답이 h의 시간 적분이기 때문입니다.