작은 충격들을 모아 응답 만들기
임펄스 응답은 LTI 시스템의 재사용 가능한 반응 무늬이고, 컨볼루션은 시간 이동한 반응들을 더합니다.
알려진 충격응답을 누적해 계단응답을 구합니다.
인과성은 현재와 과거의 입력만 허용합니다. 합성곱은 하나의 충격응답을 이용해 과거 입력들의 효과를 더합니다.
앞 강의 다시 보기: 제어기는 미래의 측정값을 읽을 수 없다먼저 그려 보기
종을 여러 번 두드리면 매번 새로운 잔향이 시작됩니다. 종이 선형으로 반응하면 들리는 소리는 겹친 잔향들의 합입니다. 연속적으로 바뀌는 입력도 아주 작은 충격들의 모음으로 생각할 수 있습니다.
개념을 하나씩 연결하기
이상적인 단위 충격은 전체 면적이 1이면서 한순간에 모인 수학적 입력입니다. 그때의 출력이 충격응답입니다. 선형 시스템에서는 작은 입력 조각마다 크기가 조정된 응답이 생깁니다. 시불변성 덕분에 입력이 들어온 시각만큼 응답을 옮길 수 있습니다. 이 응답들을 더하면 전체 출력입니다. 아래 적분은 연속시간에서 이 덧셈을 하는 합성곱입니다. 초기 상태에 의한 응답을 따로 더하지 않도록 처음에는 저장된 에너지가 없다고 둡니다.
수식 읽는 법
초기 상태가 0인 인과적 연속시간 LTI 시스템에서는 과거 입력 시각마다 옮긴 충격응답을 더합니다.
기호의 뜻
- 단위 충격이 만든 출력, 단위는 출력 단위 / (입력 단위 × 초)
- 입력 신호
- 출력 신호
- 한 입력이 작용한 과거 시각, 초
- 현재 시각, 초. t−τ는 과거 입력 이후 지난 시간
적분 변수는 과거의 입력이 들어온 시각입니다. 현재 시각과 그 시각의 차이는 해당 응답이 진행된 시간입니다. 이 예에는 입력이 출력으로 즉시 전달되는 항이 없습니다. 그런 항이 있다면 별도로 더해야 합니다.
이상화한 충격마다 이동된 응답이 시작되고 LTI 출력에서는 이를 더합니다. Lab의 유한 펄스는 이상적 임펄스가 아닙니다.
충격응답에서 계단응답 구하기
지수적으로 줄어드는 충격응답과 크기 1인 계단입력을 씁니다. 시간은 초, 입출력은 정규화된 무차원량입니다.
0부터 현재까지 각 시각의 충격 기여를 더합니다.
1초 뒤 출력은 약 0.632입니다. 즉시 뛰어오르지 않고 1에 가까워집니다.
더 자세한 설명과 모델의 가정
한 줄 예제
t≥0에서 h(t)=e^(−t)인 1차 시스템에 단위 계단 u(t)=1을 주면 y(t)=∫₀ᵗ e^(−(t−τ))dτ=1−e^(−t)입니다. 계단 곡선은 0에서 시작해 1에 가까워집니다. 같은 동역학을 다른 시험 입력으로 본 것입니다.
이산시간 제어기에서는 적분이 가중합으로 바뀝니다. 그사이 대상은 연속적으로 움직일 수 있으므로 제어기 샘플 주기와 물리 적분 간격을 혼동하지 마세요.
유한한 툭 치기는 Dirac 임펄스가 아니다
Lab의 모터 ‘Tap load’는 시간이 유한한 토크 펄스입니다. 외란의 시작과 끝을 보기에는 좋지만 면적과 형태는 크기·지속시간에 따라 달라집니다. 높이를 고정한 채 시간을 줄이면 전체 충격량도 줄어드므로 단위 Dirac 임펄스를 자동으로 근사하지는 않습니다.
예제를 실험과 연결하기
모터의 부하 펄스 한 번을 고정하고 지속시간만 바꾸세요. 속도가 언제 떨어지고 얼마나 떨어졌다가 언제 회복하는지 비교하세요.
유한 부하 펄스 바꾸기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측긴 펄스가 보통 모터에 더 오래 영향을 줄까요?
- 한 가지 변경펄스 결과 하나를 고정한 뒤 지속시간만 바꾸세요.
- 관찰외란 구간·속도 하강·회복을 비교하세요.
- 설명유한 펄스와 수학적 단위 임펄스를 구분해 설명하세요.
고정된 h 하나로 전체 응답을 예측하려면 같은 LTI 모델과 영 초기상태 조건이 유지되어야 합니다. 실행 중 포화나 게인 변경은 이 단순한 조건을 깨뜨립니다.
이해 확인+
계단응답에 임펄스 응답 정보가 들어 있는 이유는 무엇일까요?
계단은 충격이 누적된 입력으로 볼 수 있고, 적절한 인과 LTI 시스템에서는 계단응답이 h의 시간 적분이기 때문입니다.다음 강의로 이어가기
라플라스 변환을 쓰면 시간 영역의 누적과 미분을 대수 계산으로 바꿀 수 있습니다.