CHAPTER 23 / 제어기 설계

PID·포화·적분 누적

P는 지금의 오차, I는 누적된 오차, D는 측정 변화에 반응합니다.

이번 강의의 목표

요구 입력과 실제 입력을 구분하고 한계에서 적분항이 계속 커질 수 있는 이유를 설명합니다.

고전 제어 선도로 루프를 평가했습니다. PID는 비례·적분·미분 동작으로 루프를 바꾸는 실용적인 방법입니다.

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

P는 멀리 있으면 더 강하게 밀고, I는 조금 모자란 상태가 지속되면 계속 힘을 쌓으며, D는 빠른 움직임을 누그러뜨립니다. 하지만 구동기에는 한계가 있습니다. 출력이 잘리는 동안 I가 계속 쌓이면 포화가 풀린 뒤 크게 넘칠 수 있습니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

P는 지금의 오차를 사용합니다. I는 시간에 따라 오차를 더해 일정한 부하에 맞서는 지속 입력을 만들 수 있습니다. D는 측정 출력의 변화 속도에 반응해 급격한 움직임을 줄일 수 있습니다. 실제 PID에서는 잡음의 영향을 줄이도록 미분을 필터링합니다. 목표가 아니라 측정값을 미분하면 목표만 갑자기 바뀔 때 큰 미분 명령이 생기는 것을 피합니다. 이후 구동기가 요구 명령을 제한합니다. 안티와인드업은 구동기가 낼 수 없는 방향으로 적분 항이 계속 쌓이는 것을 막습니다.

수식 읽는 법

u_{\mathrm{req}}=K_p e+K_i\int e\,dt-K_d\dot y_f

비례 동작은 현재 오차를, 적분 동작은 누적 오차를 쓰고, 여기의 미분 동작은 필터를 거친 측정 움직임에 반응합니다.

u_{\mathrm{applied}}=\operatorname{clip}(u_{\mathrm{req}},u_{\min},u_{\max})

구동기는 한계 안의 입력만 적용할 수 있습니다. 실제 안티윈드업은 적분 상태가 한계를 한참 넘어 누적되는 것을 막습니다.

기호의 뜻

$e$: 목표에서 측정 출력을 뺀 오차
$K_p$: 비례 이득
$K_i$: 무차원 오차에 대한 초당 적분 이득
$K_d$: 무차원 출력에 대한 초 단위 미분 이득
$y_f$: 필터를 거친 측정 출력
$u_{\mathrm{req}},u_{\mathrm{applied}}$: 요구 입력과 실제 입력, 모터 예에서는 볼트
$u_{\min},u_{\max}$: 구동기 입력의 하한과 상한
$\operatorname{clip}$: 요구값을 허용 입력 범위 안으로 제한하는 연산

예제는 누적만 따로 보기 위해 오차를 고정합니다. 실제로 움직이는 모터의 오차는 응답에 따라 변합니다. 실험실은 측정값의 필터링된 미분과 조건부 적분 누적을 사용합니다. 속도뿐 아니라 요구 전압과 실제 전압을 함께 비교하세요.

숫자로 풀어 보는 예제

전압 한계에 안티윈드업이 필요한 이유

정규화된 속도 오차가 2초 동안 3이라고 가정합니다. 비례 이득은 오차 단위당 2볼트, 적분 이득은 오차 단위·초당 1볼트로 두고 여기서는 미분 동작을 빼겠습니다.
비례 요구는 6볼트입니다. 안티윈드업이 없으면 적분항에 6볼트가 더 쌓입니다.
$K_p e=2\cdot3=6\ \mathrm V,\quad K_i\int_0^2e\,dt=1\cdot3\cdot2=6\ \mathrm V$
요구 입력은 12볼트지만 5볼트 한계의 구동기는 5볼트만 적용합니다. 쌓인 적분값은 오차가 줄어도 높은 요구를 지속할 수 있으므로 안티윈드업이 이를 제한합니다.
$u_{\mathrm{req}}=12\ \mathrm V,\quad u_{\mathrm{applied}}=5\ \mathrm V$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

세 항이 보는 정보는 다릅니다

P는 지금 오차에 반응합니다. I는 지난 오차를 모아 일정한 부하에 필요한 지속 입력을 만듭니다. D는 측정 출력의 변화에 반응해 움직임을 감쇠시킬 수 있지만 센서 잡음에도 민감합니다. Lab은 목표가 아닌 필터를 거친 측정값을 미분하므로 목표 계단 자체가 미분 킥을 만들지 않습니다.

PID는 대상의 완전한 방정식을 먼저 쓰지 않아도 측정 응답을 보며 조정할 수 있습니다. 그렇다고 무작정 감으로만 조정하는 것은 아닙니다. 계단 시험·주파수 응답·식별 모델·명시한 성능 요구가 길잡이가 됩니다. 같은 게인이 모든 모터나 제어 주기에 통하지는 않습니다.

조금 더 자세히

요구 입력과 실제 입력은 다릅니다

제어기는 요구 전압 u*를 계산하지만 이 모터 Lab의 드라이버는 ±12 V로 제한한 u를 인가합니다. 포화 중에는 모터에 추가 전압이 들어가지 않아도 I가 계속 자라며, 나중에 쌓인 적분값 때문에 오버슈트와 느린 복구가 생길 수 있습니다. Anti-windup은 오차가 포화를 더 키울 때 적분 누적을 제한합니다.

I나 D를 무조건 올리라는 법칙은 없습니다. I를 늘리면 잔류 오차가 줄어도 포화 과도응답은 나빠질 수 있고, D를 늘리면 한 조건에서는 감쇠되지만 다른 조건에서는 잡음이 입력에 증폭될 수 있습니다. 한 항씩 바꾸고 기준 실행을 고정해 응답·PID 기여도·요구 입력·실제 입력을 함께 보세요.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

전압 한계에 가까운 모터 속도 목표를 정하고 Ki를 올리세요. Anti-windup을 켠 실험과 비교하면서 적분항과 실제 전압이 제한에 붙어 있는 시간을 관찰하세요.

적분 누적 방지 실험 비교

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측I를 키웠는데 오히려 나빠질 수 있을까요?
한 가지 변경적분 누적 실험을 열고 보호된 실행을 고정한 뒤 목표를 유지하며 anti-windup을 끄세요.
관찰요구·실제 전압, I 기여도, 포화 해제 뒤의 복구를 비교하세요.
설명같은 I 게인인데 전압 제한 때문에 결과가 달라지는 이유를 설명하세요.

주의

'D를 늘리면 언제나 감쇠가 커진다'는 일반 법칙이 아닙니다. 측정 잡음·필터 설정·제어 주기가 결과를 바꿉니다.

이해 확인+

제어기 명령과 실제 모터 전압이 왜 다를 수 있나요?

구동기의 전압 한계가 명령을 잘라내기 때문입니다. Anti-windup은 그 포화 중 적분 상태를 다룹니다.

다음 강의로 이어가기

히터에서는 포화가 더 분명합니다. 이 모델에서는 열을 더할 수 있지만 능동적으로 식힐 수는 없습니다.

더 읽어보기

University of Michigan CTMS — DC motor speed PID design ↗

먼저 그려 보기

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

u_{\mathrm{req}}=K_p e+K_i\int e\,dt-K_d\dot y_f

비례 동작은 현재 오차를, 적분 동작은 누적 오차를 쓰고, 여기의 미분 동작은 필터를 거친 측정 움직임에 반응합니다.

u_{\mathrm{applied}}=\operatorname{clip}(u_{\mathrm{req}},u_{\min},u_{\max})

구동기는 한계 안의 입력만 적용할 수 있습니다. 실제 안티윈드업은 적분 상태가 한계를 한참 넘어 누적되는 것을 막습니다.

기호의 뜻

$e$: 목표에서 측정 출력을 뺀 오차
$K_p$: 비례 이득
$K_i$: 무차원 오차에 대한 초당 적분 이득
$K_d$: 무차원 출력에 대한 초 단위 미분 이득
$y_f$: 필터를 거친 측정 출력
$u_{\mathrm{req}},u_{\mathrm{applied}}$: 요구 입력과 실제 입력, 모터 예에서는 볼트
$u_{\min},u_{\max}$: 구동기 입력의 하한과 상한
$\operatorname{clip}$: 요구값을 허용 입력 범위 안으로 제한하는 연산

전압 한계에 안티윈드업이 필요한 이유

정규화된 속도 오차가 2초 동안 3이라고 가정합니다. 비례 이득은 오차 단위당 2볼트, 적분 이득은 오차 단위·초당 1볼트로 두고 여기서는 미분 동작을 빼겠습니다.

비례 요구는 6볼트입니다. 안티윈드업이 없으면 적분항에 6볼트가 더 쌓입니다.

K_p e=2\cdot3=6\ \mathrm V,\quad K_i\int_0^2e\,dt=1\cdot3\cdot2=6\ \mathrm V

요구 입력은 12볼트지만 5볼트 한계의 구동기는 5볼트만 적용합니다. 쌓인 적분값은 오차가 줄어도 높은 요구를 지속할 수 있으므로 안티윈드업이 이를 제한합니다.

u_{\mathrm{req}}=12\ \mathrm V,\quad u_{\mathrm{applied}}=5\ \mathrm V

세 항이 보는 정보는 다릅니다

요구 입력과 실제 입력은 다릅니다

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측I를 키웠는데 오히려 나빠질 수 있을까요?

한 가지 변경적분 누적 실험을 열고 보호된 실행을 고정한 뒤 목표를 유지하며 anti-windup을 끄세요.

관찰요구·실제 전압, I 기여도, 포화 해제 뒤의 복구를 비교하세요.

설명같은 I 게인인데 전압 제한 때문에 결과가 달라지는 이유를 설명하세요.