CHAPTER 03 / 상태공간

상태와 역진자 모델

상태는 입력이 주어졌을 때 다음 움직임을 예측할 만큼의 정보를 담습니다.

이번 강의의 목표

상태·입력·측정 출력을 구분한 뒤 상태방정식을 씁니다.

모터 수지식은 현재 속도와 토크로 가속도를 예측했습니다. 카트와 막대에는 값 하나로 부족합니다. 위치와 속도도 필요합니다.

앞 강의 다시 보기: 장치를 방정식으로

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

두 카트가 같은 위치에 있어도 서로 반대 방향으로 움직일 수 있습니다. 위치 하나만으로는 다음 순간 어디에 있을지 알 수 없습니다. 속도를 함께 알면 가해지는 힘을 바탕으로 다음 움직임을 예측할 수 있습니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

상태는 앞으로의 입력과 함께 알면 모델의 미래를 예측할 수 있는 값들의 모음입니다. 카트에서는 위치와 속도가 상태가 될 수 있습니다. 상태 벡터는 그 값들을 한 열로 모아 쓴 것입니다. 입력은 우리가 가하는 힘이고 출력은 측정하는 값입니다. 출력이 위치 하나일 수도 있습니다. 선형 모델에서 행렬 A는 상태가 변화율에 주는 영향, B는 입력이 변화율에 주는 영향, C는 무엇을 측정하는지, D는 입력이 출력에 즉시 주는 영향을 나타냅니다.

수식 읽는 법

\dot x=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du

첫 식은 상태 변화를 예측하고 둘째 식은 센서 출력을 나타냅니다. 이 행렬들은 정한 작동점 근처의 선형 모델을 나타냅니다.

기호의 뜻

$x$: 상태값을 모은 열벡터, 각 상태에 따라 단위가 다름
$u$: 구동기 입력, 예를 들어 뉴턴 단위 힘
$y$: 측정 출력, 예를 들어 미터 단위 위치
$A,B,C,D$: 상태·입력·출력을 잇는 행렬, 원소마다 필요한 단위가 있음
$\dot x$: 각 상태의 시간 미분, 점은 변화율을 뜻함

점은 단위 시간당 변화를 뜻합니다. 상태 벡터에는 서로 다른 단위가 섞일 수 있으므로 행렬의 각 원소도 그에 맞는 단위를 가져야 합니다. 직립 근처 역진자 모델은 국소 근사입니다. 행렬로 적었다고 비선형 장치가 모든 범위에서 선형이 되지는 않습니다.

숫자로 풀어 보는 예제

두 상태로 표현한 카트

마찰이 없는 질량 2킬로그램 카트를 생각합시다. 위치와 속도가 상태이고 입력은 4뉴턴의 힘입니다.
$x=\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix},\quad u=4\ \mathrm N$
힘을 질량으로 나누면 가속도는 2 m/s²입니다. 즉, 속도가 1초마다 2 m/s씩 증가합니다. 위치는 현재 속도만큼 변합니다.
$\dot x=\begin{bmatrix}v\\u/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v\\2\end{bmatrix}$
정지 상태에서 시작하면 0.1초 뒤 속도는 초당 0.2미터입니다. 위치 센서만으로는 이 속도를 직접 읽을 수 없습니다.
$v(0.1)=2(0.1)=0.2\ \mathrm{m/s}$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

상태·입력·출력의 역할은 다릅니다

상태는 시스템의 움직이는 기억, 입력은 구동기가 줄 수 있는 명령, 출력은 측정하거나 보고하기로 정한 값입니다. 이 Lab의 시뮬레이터는 역진자의 네 상태를 모두 알지만 실제 제어기가 모두 직접 측정한다고 가정할 수는 없습니다.

A, B, C를 쓰면 역할이 분명해집니다. 뒤의 상태공간 설계 편에서는 피드백을 설계하기 전에 입력이 어느 상태를 움직이고 출력이 어느 상태를 알려주는지 확인합니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

각도만 유지하는 제어를 실행해 카트 이동을 보세요. 같은 초기 각도에서 위치 복귀를 켜고 위치와 각도를 함께 비교하세요.

LQR 실험 열기

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측막대가 수직인데도 카트가 위험할 수 있을까요?
한 가지 변경같은 초기 각도에서 각도 전용·위치 복귀 프리셋을 비교하세요.
관찰카트 위치·속도·각도·힘을 살펴보세요.
설명각도 표시가 숨긴 상태를 설명하세요.

주의

상태 벡터를 적었다고 모든 상태가 측정되거나 구동기가 모든 모드를 제어할 수 있는 것은 아닙니다. 상태 피드백 전에 그 성질을 확인하세요.

이해 확인+

막대 각도 하나만으로 역진자의 미래를 설명할 수 없는 이유는?

각도가 같아도 카트 위치·속도·막대 각속도가 다르면 다음 움직임이 달라지기 때문입니다.

다음 강의로 이어가기

실제 시스템은 비선형인 경우가 많습니다. 다음에는 선형 상태 모델이 언제 근사가 되는지 살펴봅니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Systems, Modeling, and Control II, lecture notes ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

\dot x=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du

첫 식은 상태 변화를 예측하고 둘째 식은 센서 출력을 나타냅니다. 이 행렬들은 정한 작동점 근처의 선형 모델을 나타냅니다.

기호의 뜻

$x$: 상태값을 모은 열벡터, 각 상태에 따라 단위가 다름
$u$: 구동기 입력, 예를 들어 뉴턴 단위 힘
$y$: 측정 출력, 예를 들어 미터 단위 위치
$A,B,C,D$: 상태·입력·출력을 잇는 행렬, 원소마다 필요한 단위가 있음
$\dot x$: 각 상태의 시간 미분, 점은 변화율을 뜻함

두 상태로 표현한 카트

마찰이 없는 질량 2킬로그램 카트를 생각합시다. 위치와 속도가 상태이고 입력은 4뉴턴의 힘입니다.

x=\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix},\quad u=4\ \mathrm N

힘을 질량으로 나누면 가속도는 2 m/s²입니다. 즉, 속도가 1초마다 2 m/s씩 증가합니다. 위치는 현재 속도만큼 변합니다.

\dot x=\begin{bmatrix}v\\u/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v\\2\end{bmatrix}

정지 상태에서 시작하면 0.1초 뒤 속도는 초당 0.2미터입니다. 위치 센서만으로는 이 속도를 직접 읽을 수 없습니다.

v(0.1)=2(0.1)=0.2\ \mathrm{m/s}

상태·입력·출력의 역할은 다릅니다