전달함수·극점·영점
극점은 시스템 고유 모드를, 영점은 입력이 그 모드를 드러내는 방식을 바꿉니다.
간단한 대상과 비례 이득에서 폐루프 극점을 구하고 극점 위치와 최종 이득을 구분합니다.
앞의 1차 전달함수에는 감쇠 속도를 정하는 극점 하나가 있었습니다. 더 복잡한 전달함수에는 극점과 영점이 여러 개 있을 수 있습니다.
앞 강의 다시 보기: 왜 라플라스 변환을 할까?먼저 그려 보기
종의 잔향을 떠올려 보세요. 극점은 고유 진동이 얼마나 빨리 사라지고 흔들리는지 알려줍니다. 영점은 입력에서 출력으로 가는 응답을 상쇄하거나 바꾸지만 내부 물리 모드를 반드시 없애지는 않습니다.
개념을 하나씩 연결하기
전달함수는 초기 상태를 0으로 두고 변환한 출력을 변환한 입력으로 나눈 것입니다. s의 다항식들로 이루어진 분수로 씁니다. 분자를 0으로 만드는 값이 영점입니다. 공통 인수를 처리한 뒤 분모를 0으로 만드는 값이 극점입니다. 극점은 응답의 지수적 증가·감쇠·진동을 알려줍니다. 피드백 루프를 닫으면 먼저 폐루프 분수를 만들어야 합니다. 그 극점은 보통 대상 자체의 극점과 다릅니다.
수식 읽는 법
단위 음의 피드백에서는 이 폐루프 관계의 분모가 유효한 상쇄 뒤에 보이는 폐루프 극점을 정합니다.
기호의 뜻
- 제어 대상의 전달함수
- 비례 이득
- 목표에서 출력으로 가는 폐루프 전달함수
- 복소 주파수, 초의 역수
여기서는 센서가 출력의 크기를 바꾸지 않고 돌려주며, 목표에서 그 출력을 뺍니다. 공통 인수를 약분하면 내부 움직임이 보이지 않을 수 있습니다. 따라서 간단해진 입출력 분수만으로 내부 안정성을 모두 확인할 수는 없습니다.
극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.
이득이 속도와 최종값을 바꾸는 예
정규화된 1차 대상에 비례 이득 2를 적용합니다.
피드백 식에 대입해 정리합니다.
극점이 초의 역수로 −3에 있으므로 더 빨리 감쇠합니다. 하지만 비례 제어에는 오차가 남아 크기 1의 계단입력 최종 출력은 2/3입니다.
더 자세한 설명과 모델의 가정
극점을 읽기 전에 루프를 만드세요
단위 음의 피드백에서는 e=r−y, u=Ce, y=Pu입니다. 대입하면 y=PC(r−y)이므로 (1+PC)y=PCr, 즉 T=y/r=PC/(1+PC)입니다. P만이 아니라 1+PC가 폐루프 특성방정식을 정합니다. 빼기 부호가 어디서 들어왔는지도 이 유도에서 보입니다.
전달함수는 초기 상태가 0일 때 정해진 입력에서 정해진 출력으로 가는 관계입니다. 같은 모터라도 전압→속도와 부하 토크→속도의 전달함수는 다릅니다. 영점이나 정상 이득을 해석하기 전에 입출력 경로를 먼저 적으세요.
극점과 영점만으로 모르는 것
최소 선형 모델에서 극점은 고유 모드이고 영점은 선택한 입출력 응답을 바꿉니다. 허수축에 가까운 극점은 보통 천천히 감쇠하고 복소 극점 쌍은 진동할 수 있습니다. 영점 때문에 특정 측정에서 모드가 안 보일 수 있으므로 불안정한 인자가 상쇄되었다면 상태 모델에서도 확인해야 합니다.
선형 전달함수는 전압 제한과 여러 파라미터 변화도 생략합니다. 12 V밖에 낼 수 없는 모터에 20 V를 요구했다면 극점 그림이 좋아도 모델대로 움직인다고 보장할 수 없습니다.
예제를 실험과 연결하기
L=K/(s+1)이면 폐루프 극점은 −(1+K)입니다. 양의 K를 올리면 이 극점은 왼쪽으로 가지만 복잡한 대상에서도 항상 그렇지는 않습니다.
조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측루프를 닫은 뒤 어떤 분모가 중요할까요?
- 한 가지 변경P(s)=1/(s+1), C(s)=K를 놓고 대입해 T(s)를 구하세요.
- 관찰개루프 극점 −1과 폐루프 극점 −(1+K)를 비교하세요.
- 설명이 간단한 이득 변화가 모든 대상이나 포화 상황에 적용되지 않는 이유를 설명하세요.
입출력 식의 극점·영점 상쇄가 불안정한 내부 모드를 숨길 수 있습니다. 상쇄만으로 실제 안전성을 증명할 수 없습니다.
이해 확인+
단위 음의 피드백의 폐루프 극점을 정하는 방정식은 무엇일까요?
특성방정식 1+L(s)=0입니다.다음 강의로 이어가기
실제 블록선도에는 블록 여러 개와 센서 경로가 있습니다. 시간응답을 보기 전에 신호를 따라 계산해야 합니다.