CHAPTER 14 / 시간 영역

안정성과 정상상태 오차

응답이 발산하지 않아도 부정확할 수 있고, 이론상 정확해도 실제 구동기 한계로 도달하지 못할 수 있습니다.

이번 강의의 목표

안정한 루프에도 목표 오차가 남을 수 있음을 한 모델로 보여줍니다.

계단응답 지표는 한 번의 실험을 설명합니다. 안정성은 시간이 계속 흐를 때의 거동을, 정상상태 오차는 정착한 출력이 목표에 얼마나 가까운지를 묻습니다.

앞 강의 다시 보기: 계단응답 읽기

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

직립 막대는 제어하지 않으면 작은 기울기가 커집니다. 반면 모터 속도 루프는 안정해도 부하 때문에 목표 아래에 머물 수 있습니다. 안정성과 정확성은 다른 질문입니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

안정성과 정확도는 다른 질문입니다. 안정한 응답도 목표보다 낮은 값에 정착할 수 있습니다. 유한 차원 선형 상태 모델이 평형으로 돌아오는지 확인하려면 모든 폐루프 고유값을 봅니다. 연속시간에서는 각각의 실수 부분이 음수여야 합니다. 내부 상태를 빠짐없이 나타내는 최소 입출력 모델에서는 이것들이 극점입니다. 수렴을 확인한 다음 최종 오차를 계산하세요. 최종값 공식에 넣었다고 불안정 응답의 마지막 값이 의미를 갖지는 않습니다.

수식 읽는 법

e_{\mathrm{ss}}=\lim_{t\to\infty}(r(t)-y(t))

정상상태 오차는 과도응답이 사라진 뒤 남는 오차이며, 유한한 극한이 존재할 때 정의됩니다.

기호의 뜻

$e_{\mathrm{ss}}$: 최종 추종 오차, 출력 단위
$r$: 목표 신호, 출력 단위
$y$: 측정 출력, 출력 단위

정상상태 오차는 오차가 하나의 값에 가까워질 때만 존재합니다. 적분 제어는 폐루프가 안정하고 구동기에 입력 여유가 있을 때 일정한 추종 오차를 없앨 수 있습니다.

극점 지도 / 연속시간 s평면

극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.

숫자로 풀어 보는 예제

안정하지만 1/3만큼 부족한 경우

앞의 단위 피드백 대상에 비례 이득 2를 씁니다. 폐루프 전달함수는 2를 s+3으로 나눈 식입니다.
$T(s)=\frac2{s+3}$
−3의 극점 때문에 선형 응답은 감쇠합니다. 크기 1의 계단목표에 대한 최종 출력은 2/3입니다.
$y_{\mathrm{ss}}=T(0)\cdot1=\frac23$
이 모델의 루프는 안정하지만 오차 1/3이 남습니다. 이득을 올리면 줄일 수 있어도 구동기와 안정성의 한계를 확인해야 합니다.
$e_{\mathrm{ss}}=1-\frac23=\frac13$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

서로 다른 세 질문

내부 점근안정은 추가 입력이 없을 때 모든 내부 변화가 사라지는지, BIBO 안정은 모든 유계 입력에 대해 선택한 출력이 유계인지, 정상상태 정확도는 특정 목표에 결국 도달하는지 묻습니다. 숨은 모드나 입력 제한이 중요하면 하나를 만족해도 다른 것은 실패할 수 있습니다.

최종값 정리는 극점 조건을 확인한 뒤에만 쓰세요. 불안정 루프에서 계산한 숫자는 실제 최종 속도가 아닙니다. 포화된 모터는 목표에 필요한 전압 자체가 구동기 능력을 넘을 수 있습니다.

조금 더 자세히

안정해도 목표에 틀릴 수 있습니다

비례 제어만 하는 부하 모터를 생각해 보세요. 목표보다 낮은 속도에서 차분히 정착할 수 있습니다. 남은 오차가 부하를 이기는 데 필요한 P 전압을 만드는 상태입니다. 움직임은 유계이고 수렴해도 추종 정확도는 부족합니다. 구동기에 전압 여유가 있다면 I를 더해 지속 오차를 없앨 수 있습니다.

반대의 지름길도 틀립니다. 마지막 수치가 목표에 가깝다고 내부적으로 안정하다는 증거는 아닙니다. 특히 비선형 제한이 있으면 커지는 모드·숨은 상태·레일 이탈·전체 시간 구간을 함께 확인하세요.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

모터에 일정 부하를 가하세요. P 제어만으로는 속도 오차가 남을 수 있습니다. I를 더하면 줄일 수 있지만 필요한 전압이 한계를 넘으면 해결되지 않습니다.

정착과 오차 비교

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측모터가 목표에 못 닿아도 정착할 수 있을까요?
한 가지 변경일정 부하와 I=0인 적분 실험을 열어 고정한 뒤 I를 추가하세요.
관찰최종 오차·정착·전압 포화를 비교하세요.
설명수렴에 대한 판단과 목표 정확도에 대한 판단을 따로 적으세요.

주의

12초 실험에서 값이 유한하다는 사실만으로 모든 시간·입력에 대한 안정성이 증명되지는 않습니다.

이해 확인+

안정한 모터 속도 루프도 목표를 놓칠 수 있을까요?

네. 특히 부하나 포화가 있으면 오차를 남긴 채 정착할 수 있습니다.

다음 강의로 이어가기

입출력 안정성을 정확히 말하려면 모든 유계 입력에 대해 선택한 출력도 유계인지 살펴봐야 합니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Principles of Automatic Control, lecture notes ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

e_{\mathrm{ss}}=\lim_{t\to\infty}(r(t)-y(t))

정상상태 오차는 과도응답이 사라진 뒤 남는 오차이며, 유한한 극한이 존재할 때 정의됩니다.

기호의 뜻

$e_{\mathrm{ss}}$: 최종 추종 오차, 출력 단위
$r$: 목표 신호, 출력 단위
$y$: 측정 출력, 출력 단위

극점 지도 / 연속시간 s평면

극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.

안정하지만 1/3만큼 부족한 경우

앞의 단위 피드백 대상에 비례 이득 2를 씁니다. 폐루프 전달함수는 2를 s+3으로 나눈 식입니다.

T(s)=\frac2{s+3}

−3의 극점 때문에 선형 응답은 감쇠합니다. 크기 1의 계단목표에 대한 최종 출력은 2/3입니다.

y_{\mathrm{ss}}=T(0)\cdot1=\frac23

이 모델의 루프는 안정하지만 오차 1/3이 남습니다. 이득을 올리면 줄일 수 있어도 구동기와 안정성의 한계를 확인해야 합니다.

e_{\mathrm{ss}}=1-\frac23=\frac13

서로 다른 세 질문

안정해도 목표에 틀릴 수 있습니다

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측모터가 목표에 못 닿아도 정착할 수 있을까요?

한 가지 변경일정 부하와 I=0인 적분 실험을 열어 고정한 뒤 I를 추가하세요.

관찰최종 오차·정착·전압 포화를 비교하세요.

설명수렴에 대한 판단과 목표 정확도에 대한 판단을 따로 적으세요.