CHAPTER 20 / 주파수 영역

왜 주파수·위상으로 볼까?

복잡한 시스템도 사인파 하나씩 넣으며 성질을 읽을 수 있습니다.

이번 강의의 목표

안정한 1차 모델의 한 주파수에서 진폭 감소와 위상 지연을 계산합니다.

리드·래그 보상기는 주파수에 따라 다르게 작용합니다. 정현파를 하나씩 넣어 그 효과를 측정할 수 있습니다.

앞 강의 다시 보기: 리드·래그 보상기

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

그네를 천천히 밀면 따라오고 고유 리듬에 맞추면 크게 움직이며 너무 빨리 밀면 잘 반응하지 못할 수 있습니다. 입력 주파수에 따라 진폭비와 시간 지연이 달라집니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

안정한 LTI 시스템에 반복되는 사인파를 넣고 시작할 때의 움직임이 사라질 때까지 기다립니다. 남은 출력은 같은 주파수로 반복됩니다. 진폭은 커지거나 작아질 수 있고 최대값에 도달하는 시점도 달라집니다. 진폭의 비율이 크기이고, 시차를 한 주기의 각도로 나타낸 것이 위상입니다. 위상 −90도는 한 주기의 1/4만큼 늦는다는 뜻이지 모터 축이 90도 회전했다는 뜻이 아닙니다. 주파수를 바꾸며 어떤 움직임이 잘 전달되는지 확인합니다.

수식 읽는 법

G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}

정현파 정상상태에서는 크기가 진폭을 바꾸고 위상은 입력에 대한 시간 관계를 바꿉니다.

기호의 뜻

$G$: 대상 또는 루프의 주파수 응답 함수
$\omega$: 각주파수, 초당 라디안
$\phi$: 입력에 대한 출력 위상, 도 또는 라디안
$j$: 허수 단위

안정한 선형 모델에서 과도응답이 사라진 뒤 쓰는 정현파 관계입니다. 포화가 있으면 사인파 모양이 왜곡될 수 있습니다. 각주파수는 초당 라디안이며 2π로 나누면 초당 주기 수인 헤르츠입니다.

보드 선도 / G(s)=1/(1+s)

1차 저역통과 대상에서는 높은 주파수가 약해지고 지연도 커집니다. 실험실의 수치 데이터가 아닌 형태 개념도입니다.

숫자로 풀어 보는 예제

1차 대상에 정현파 하나 넣기

시정수 1초인 안정한 정규화 대상을 사용합니다. 진폭 2, 각주파수 초당 1라디안의 정현파를 넣습니다.
$G(s)=\frac1{s+1},\quad \omega=1\ \mathrm{rad/s}$
이 주파수에서 크기 이득은 약 0.707이고 위상은 −45도입니다.
$G(j)=\frac1{1+j},\quad |G(j)|=\frac1{\sqrt2},\quad\phi=-45^\circ$
시작 과도응답이 사라지면 출력 진폭은 약 1.414이고 최대점이 입력보다 늦게 나타납니다.
$A_{\mathrm{out}}=2/\sqrt2\approx1.414$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

한 주파수가 어떻게 통과하는지 묻기

안정한 선형 대상에 작은 사인파 u(t)=A sin(ωt)를 넣으세요. 과도응답이 사라진 뒤 출력은 같은 주파수이지만 크기와 위상이 달라져 y(t)=A|G(jω)| sin(ωt+φ)가 됩니다. 여러 ω를 시험하면 어떤 움직임이 전달·감쇠·지연되는지 알 수 있습니다. 이것이 정상 사인파 주파수 응답의 뜻입니다.

각주파수 ω는 rad/s, 보통 주파수 f는 초당 회전수 Hz이며 ω=2πf입니다. rad/s 축의 ‘10’은 10 Hz가 아닙니다. 위상은 그 주파수에서 두 신호의 시간 관계이고 −90°가 축이 영구히 −90° 돌아갔다는 뜻은 아닙니다.

조금 더 자세히

선형화 조건을 함께 보기

모터 작업대는 선택한 샘플·홀드 주기의 공칭 이산 루프를 평가합니다. 보드·나이퀴스트 곡선에는 전압 포화·잡음·바뀐 실제 관성·anti-windup 전환이 들어가지 않습니다. 그런 효과는 시간 시뮬레이션에 나타나므로 두 화면의 차이는 곧바로 계산 오류가 아니라 가정을 점검할 단서입니다.

입력이 국소 모델이 유효할 만큼 작을 때 주파수 분석의 의미가 가장 분명합니다. 큰 목표 계단에서 구동기가 포화하면 두 화면을 함께 쓰세요. 주파수 선도는 설계 모델을 설명하고, 시간 곡선은 제한된 실제 실행 결과를 보고합니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

모터 속도 루프는 느린 목표 변화는 따라가지만 빠른 진동은 따라가지 못할 수 있습니다. 그 빠른 변화가 측정 잡음이라면 오히려 좋을 수 있습니다.

공칭 분석과 입력 제한 비교

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측매끈한 보드 선도와 잘린 시간 응답이 왜 다를까요?
한 가지 변경모터 주파수 작업대를 열고 실제 전압이 ±12 V에 닿을 때까지 목표를 올리세요.
관찰요구·실제 전압을 비교하면서 공칭 보드 선도가 움직였는지 보세요.
설명포화 중 깨진 가정을 말해 보세요.

주의

위상은 주파수에 따라 다릅니다. 하나의 '지연 각도'로 시스템 전체를 설명할 수 없습니다.

이해 확인+

−90° 위상은 축이 실제로 90° 거꾸로 회전했다는 뜻일까요?

아닙니다. 사인파 출력이 입력보다 해당 신호 주기의 1/4만큼 늦는다는 뜻입니다.

다음 강의로 이어가기

보드 선도는 이런 크기·위상 계산을 여러 주파수에 걸쳐 보여줍니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Feedback Control Systems, lecture notes ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}

정현파 정상상태에서는 크기가 진폭을 바꾸고 위상은 입력에 대한 시간 관계를 바꿉니다.

기호의 뜻

$G$: 대상 또는 루프의 주파수 응답 함수
$\omega$: 각주파수, 초당 라디안
$\phi$: 입력에 대한 출력 위상, 도 또는 라디안
$j$: 허수 단위

보드 선도 / G(s)=1/(1+s)

1차 저역통과 대상에서는 높은 주파수가 약해지고 지연도 커집니다. 실험실의 수치 데이터가 아닌 형태 개념도입니다.

1차 대상에 정현파 하나 넣기

시정수 1초인 안정한 정규화 대상을 사용합니다. 진폭 2, 각주파수 초당 1라디안의 정현파를 넣습니다.

G(s)=\frac1{s+1},\quad \omega=1\ \mathrm{rad/s}

이 주파수에서 크기 이득은 약 0.707이고 위상은 −45도입니다.

G(j)=\frac1{1+j},\quad |G(j)|=\frac1{\sqrt2},\quad\phi=-45^\circ

시작 과도응답이 사라지면 출력 진폭은 약 1.414이고 최대점이 입력보다 늦게 나타납니다.

A_{\mathrm{out}}=2/\sqrt2\approx1.414

한 주파수가 어떻게 통과하는지 묻기

선형화 조건을 함께 보기

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측매끈한 보드 선도와 잘린 시간 응답이 왜 다를까요?

한 가지 변경모터 주파수 작업대를 열고 실제 전압이 ±12 V에 닿을 때까지 목표를 올리세요.

관찰요구·실제 전압을 비교하면서 공칭 보드 선도가 움직였는지 보세요.

설명포화 중 깨진 가정을 말해 보세요.