한 작동점 근처에서 쓸 수 있는 모델
선형화는 국소적인 근사입니다. 비선형 장치가 실제로 선형으로 변했다는 뜻이 아닙니다.
먼저 그려 보기
굽은 도로도 아주 짧은 구간만 보면 거의 직선입니다. 접선은 바로 이곳의 변화를 알려 주지만 멀리 가면 방향이 어긋납니다. 선형화 모델도 정해 둔 상태 근처에서만 같은 역할을 합니다.
모델이 말하는 것
비선형 상태식 ẋ=f(x,u)에서 시작합니다. f(x₀,u₀)=0인 평형점 (x₀,u₀)을 고르고 작은 변화량 δx=x−x₀, δu=u−u₀를 정의합니다. 그 점에서 f를 미분한 행렬 A, B를 사용하면 δẋ≈Aδx+Bδu가 됩니다. 고차항은 버렸으므로 작동점을 바꾸면 A와 B도 바뀝니다.
δẋ ≈ Aδx+Bδu; A=∂f/∂x|₀, B=∂f/∂u|₀아래첨자 0은 실행 중 모든 지점이 아니라 명시한 평형점에서 미분값을 구한다는 뜻입니다.
접선은 가까운 곳에서 유용합니다. 이 그림은 역진자 Lab에서 측정한 오차 곡선이 아닙니다.
직립 역진자가 국소 문제인 이유
직립 근처에서 각도를 라디안으로 재면 sin θ≈θ, cos θ≈1입니다. 이 근사가 LQR과 칼만 필터에 쓰는 방정식을 단순하게 만듭니다. 크게 기울면 근사와 평형점 가정이 부정확해질 수 있지만 시뮬레이터는 계속 비선형 방정식을 적분합니다.
구동기 포화와 레일 끝은 별도의 비선형 제약입니다. 작은 각도 모델이 잘 맞아도 제어기가 무한한 힘을 내거나 유한 레일 밖에서도 균형을 잡을 수는 없습니다.
근사의 범위를 확인하는 방법
제어기·외란·시드·실행 시간을 고정하고 초기 막대 각도만 바꾸세요. 각도, 카트 이동, 실제 힘, 실패 상태를 비교합니다. 결과가 나빠지면 이 비선형 대상에서 해당 제어기의 한계를 볼 수 있습니다. 선형 모델 곡선을 함께 그리지 않았다면 선형화 오차를 직접 측정한 것은 아닙니다.
실험과 연결
LQR로 직립 근처의 작은 초기 각도에서 시작해 결과를 고정하고 시작 각도만 올려 보세요. 복귀나 레일 이동이 눈에 띄게 달라지는 지점을 기록하세요.
초기 각도 두 가지 비교조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측초기 기울기가 커지면 복귀하기 쉬워질까요? 이유는?
- 한 가지 변경LQR과 충격은 고정하고 초기 각도만 바꾸세요.
- 관찰각도·카트 위치·실제 힘·레일 상태를 비교하세요.
- 설명국소 모델 가정과 물리적 한계를 따로 설명하세요.
모든 경우에 통하는 '유효 각도' 하나를 선언하지 마세요. 근사의 유효성은 모델·작동점·입력·요구 정확도·제약에 따라 달라집니다.
이해 확인+
큰 기울기에서 LQR 실험이 실패했다면 비선형 시뮬레이터가 틀린 걸까요?
반드시 그렇지는 않습니다. 이득은 국소 선형 모델에서 설계됐고, 그 범위 밖에서는 힘이나 레일 여유가 부족할 수 있습니다.