한 작동점 근처에서 쓸 수 있는 모델
선형화는 국소적인 근사입니다. 비선형 장치가 실제로 선형으로 변했다는 뜻이 아닙니다.
국소 기울기를 구하고 근사를 적용할 범위를 분명히 밝힙니다.
상태방정식은 비선형일 수 있습니다. 한 작동점 주위에서 펼치면 더 간단한 국소 모델을 만들 수 있습니다.
앞 강의 다시 보기: 상태와 역진자 모델먼저 그려 보기
굽은 도로도 아주 짧은 구간만 보면 거의 직선입니다. 접선은 바로 이곳의 변화를 알려 주지만 멀리 가면 방향이 어긋납니다. 선형화 모델도 정해 둔 상태 근처에서만 같은 역할을 합니다.
개념을 하나씩 연결하기
평형점은 일정한 입력에서 상태가 변하지 않는 지점입니다. 먼저 그 상태와 입력을 고르세요. 그다음 평형점에서 얼마나 조금 벗어났는지만 표현합니다. 접선으로 곡선을 근사하듯 각 비선형 관계를 평형점의 기울기로 바꿉니다. 이 기울기들이 선형 상태방정식의 A와 B가 됩니다. 평형점이 바뀌면 기울기도 달라지므로 같은 근사를 다른 곳에 그대로 쓰면 안 됩니다.
수식 읽는 법
상태와 입력의 작은 변화는 선택한 평형점에서 구한 기울기로 연결됩니다.
기호의 뜻
- 평형점에서 벗어난 상태 변화, 해당 상태의 단위
- 평형 입력에서 벗어난 변화, 입력의 단위
- 평형점에서 상태에 대한 상태 변화율의 기울기
- 평형점에서 입력에 대한 상태 변화율의 기울기
- 상태 편차의 변화율, 점은 시간 미분
δ는 새로운 물리량이 아니라 선택한 평형점과의 차이입니다. 근사 기호는 곡선의 고차 효과를 생략했다는 표시입니다. 여기서 작은 각도 근사는 라디안 단위를 사용합니다.
접선은 가까운 곳에서 유용합니다. 이 그림은 역진자 Lab에서 측정한 오차 곡선이 아닙니다.
작은 막대 기울기 근사
진자 모델에는 각도의 사인이라는 비선형 항이 있습니다. 직립 평형점의 각도는 0입니다.
접선 모델은 각도가 라디안일 때 사인값을 각도로 바꿉니다. 10도는 약 0.1745라디안입니다.
실제 사인값은 약 0.1736이므로 이 항의 오차는 약 0.5%입니다. 각도가 더 커지면 오차도 커집니다.
더 자세한 설명과 모델의 가정
직립 역진자가 국소 문제인 이유
직립 근처에서 각도를 라디안으로 재면 sin θ≈θ, cos θ≈1입니다. 이 근사가 LQR과 칼만 필터에 쓰는 방정식을 단순하게 만듭니다. 크게 기울면 근사와 평형점 가정이 부정확해질 수 있지만 시뮬레이터는 계속 비선형 방정식을 적분합니다.
구동기 포화와 레일 끝은 별도의 비선형 제약입니다. 작은 각도 모델이 잘 맞아도 제어기가 무한한 힘을 내거나 유한 레일 밖에서도 균형을 잡을 수는 없습니다.
근사의 범위를 확인하는 방법
제어기·외란·시드·실행 시간을 고정하고 초기 막대 각도만 바꾸세요. 각도, 카트 이동, 실제 힘, 실패 상태를 비교합니다. 결과가 나빠지면 이 비선형 대상에서 해당 제어기의 한계를 볼 수 있습니다. 선형 모델 곡선을 함께 그리지 않았다면 선형화 오차를 직접 측정한 것은 아닙니다.
예제를 실험과 연결하기
LQR로 직립 근처의 작은 초기 각도에서 시작해 결과를 고정하고 시작 각도만 올려 보세요. 복귀나 레일 이동이 눈에 띄게 달라지는 지점을 기록하세요.
초기 각도 두 가지 비교조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측초기 기울기가 커지면 복귀하기 쉬워질까요? 이유는?
- 한 가지 변경LQR과 충격은 고정하고 초기 각도만 바꾸세요.
- 관찰각도·카트 위치·실제 힘·레일 상태를 비교하세요.
- 설명국소 모델 가정과 물리적 한계를 따로 설명하세요.
모든 경우에 통하는 '유효 각도' 하나를 선언하지 마세요. 근사의 유효성은 모델·작동점·입력·요구 정확도·제약에 따라 달라집니다.
이해 확인+
작은 각도 모델이 5도 기울기에는 맞지만 60도에는 맞지 않습니다. 무엇을 알 수 있나요?
국소 근사를 작동점에서 너무 멀리 적용한 것입니다. 이것만으로 원래 비선형 모델이 틀렸다고 할 수는 없습니다.다음 강의로 이어가기
배수 탱크에서는 물리적 유량 법칙에서 기울기를 구하고 작동 수위의 영향을 확인할 수 있습니다.