CHAPTER 10 / 모델링

왜 라플라스 변환을 할까?

미분방정식을 대수식으로 바꾸면서 과도응답과 안정성의 정보를 보존합니다.

이번 강의의 목표

1차 미분방정식을 전달함수로 바꾸고 시간 척도를 읽습니다.

합성곱은 시간에 따른 기여를 더해 출력을 구합니다. 초기 상태가 0인 LTI 모델에서는 라플라스 변환으로 이를 곱셈으로 바꿀 수 있습니다.

앞 강의 다시 보기: 작은 충격들을 모아 응답 만들기

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

입력이 바뀔 때마다 모터 미분방정식을 다시 푸는 일은 번거롭습니다. s영역에서는 미분이 s의 곱(초기조건 항 포함)이 되어 블록을 보통 대수식처럼 곱하고 나눌 수 있습니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

미분방정식은 시간에 따른 변화를 표현합니다. 라플라스 변환은 이를 s라는 변수를 쓰는 식으로 바꿉니다. 핵심 규칙은 시간 미분을 s의 곱으로 바꾸되 시작값을 보정하는 것입니다. 덕분에 많은 선형 미분방정식을 대수식처럼 계산할 수 있습니다. 계산한 뒤에는 다시 시간에서의 의미를 해석합니다. s는 복소수일 수 있습니다. 실수 부분은 증가·감쇠를, 허수 부분은 진동을 나타냅니다. 별도의 물리 세계를 상상할 필요는 없습니다.

수식 읽는 법

\mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0)

미분은 복소 변수 s의 곱으로 바뀌며 시작값에 대한 항이 더해집니다.

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)},\qquad x(0)=0

입력에서 출력으로 가는 전달함수는 모든 초기 상태를 0으로 둡니다. x는 그 상태들의 모음입니다.

기호의 뜻

$s$: 복소 주파수 변수, 초의 역수
$Y(s)$: 출력의 라플라스 변환
$U(s)$: 입력의 라플라스 변환
$G(s)$: 초기 상태가 0일 때의 전달함수
$x(0)$: 시작 시각의 모든 상태값
$\dot y,y(0)$: 출력 변화율과 초기 출력

전달함수는 모든 초기 상태가 0일 때의 입출력 관계입니다. 이 1차 예에서는 시작 출력이 0이라는 뜻입니다. 이미 충전된 커패시터나 움직이는 카트에는 초기 상태에 대한 항이 추가로 필요합니다.

극점 지도 / 연속시간 s평면

극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.

숫자로 풀어 보는 예제

시정수 2초인 1차 대상

시정수 2초이고 초기 출력이 0인 대상을 씁니다. 입력과 출력은 같은 정규화 단위입니다.
$2\dot y+y=u,\quad y(0)=0$
변환한 뒤 출력을 입력으로 나누어 정리합니다.
$(2s+1)Y=U\quad\Rightarrow\quad G(s)=\frac1{2s+1}$
극점은 초의 역수로 −0.5입니다. 크기 1인 계단입력에는 2초 뒤 약 63%까지 응답합니다.
$y(2)=1-e^{-1}\approx0.632$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

변하는 신호를 대수식으로

τẏ+y=u와 y(0)=0에서 시작해 보세요. 라플라스 변환을 하면 (τs+1)Y(s)=U(s), 따라서 G(s)=Y/U=1/(τs+1)입니다. 입력이 달라질 때마다 미분방정식을 다시 풀지 않아도 이 블록을 제어기와 연결할 수 있습니다. 동역학이 없어진 게 아니라 표현만 바뀐 것입니다.

초기값도 중요합니다. y(0)=y₀이면 (τs+1)Y=U+τy₀입니다. G=Y/U는 초기 상태가 0일 때의 입력·출력 부분이고 τy₀는 별도의 자유 응답입니다. 전체 식을 U로 나눠 초기조건을 입력 전달함수에 섞지 마세요.

조금 더 자세히

복소 변수 s가 유용한 이유

s=σ+jω인 e^(st)는 성장·감쇠율 σ와 진동률 ω를 함께 표현합니다. 그래서 s=−1/τ의 극점은 감쇠를, 실수부가 양수인 극점은 성장을 예고합니다. 극점 그림만으로 시간 곡선을 그리기 전 응답을 짐작할 수 있는 이유입니다.

나중에 s=jω를 대입하면 안정한 시스템에 각주파수 ω의 사인파를 계속 넣었을 때의 응답을 묻는 셈입니다. 새로운 물리 세계가 아니라 같은 모델을 보는 한 방식입니다. 불안정한 시스템에는 보통 의미의 정상 사인파 응답이 존재하지 않을 수 있습니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

τ dy/dt+y=u에서 초기 상태가 0이면 G(s)=1/(τs+1)입니다. −1/τ의 극점은 시간 척도 τ의 감쇠를 예고합니다.

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측하나의 G(s)로 서로 다른 초기 속도를 설명할 수 있을까요?
한 가지 변경τẏ+y=u를 y(0)=0과 y(0)=y₀로 각각 변환해 보세요.
관찰G(s)는 그대로인데 달라진 항을 찾으세요.
설명전달함수에 초기상태 가정이 필요한 이유를 설명하세요.

주의

s영역은 계산 도구이지 실제 시간이 사라진다는 뜻이 아닙니다. 해석할 때는 시간응답이나 주파수응답으로 돌아와야 합니다.

이해 확인+

입력이 시작될 때 이미 움직이던 카트를 전달함수만으로 설명할 수 있나요?

아니요. 전달함수는 초기 상태가 0일 때의 입력 응답을 나타냅니다. 초기 위치와 속도에 의한 응답도 더해야 합니다.

다음 강의로 이어가기

전달함수의 극점과 영점은 모델의 움직임이 선택한 출력에 어떻게 드러나는지 보여줍니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Systems, Modeling, and Control II, lecture notes ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

\mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0)

미분은 복소 변수 s의 곱으로 바뀌며 시작값에 대한 항이 더해집니다.

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)},\qquad x(0)=0

입력에서 출력으로 가는 전달함수는 모든 초기 상태를 0으로 둡니다. x는 그 상태들의 모음입니다.

기호의 뜻

$s$: 복소 주파수 변수, 초의 역수
$Y(s)$: 출력의 라플라스 변환
$U(s)$: 입력의 라플라스 변환
$G(s)$: 초기 상태가 0일 때의 전달함수
$x(0)$: 시작 시각의 모든 상태값
$\dot y,y(0)$: 출력 변화율과 초기 출력

극점 지도 / 연속시간 s평면

극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.

시정수 2초인 1차 대상

시정수 2초이고 초기 출력이 0인 대상을 씁니다. 입력과 출력은 같은 정규화 단위입니다.

2\dot y+y=u,\quad y(0)=0

변환한 뒤 출력을 입력으로 나누어 정리합니다.

(2s+1)Y=U\quad\Rightarrow\quad G(s)=\frac1{2s+1}

극점은 초의 역수로 −0.5입니다. 크기 1인 계단입력에는 2초 뒤 약 63%까지 응답합니다.

y(2)=1-e^{-1}\approx0.632

변하는 신호를 대수식으로

복소 변수 s가 유용한 이유

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측하나의 G(s)로 서로 다른 초기 속도를 설명할 수 있을까요?

한 가지 변경τẏ+y=u를 y(0)=0과 y(0)=y₀로 각각 변환해 보세요.

관찰G(s)는 그대로인데 달라진 항을 찾으세요.

설명전달함수에 초기상태 가정이 필요한 이유를 설명하세요.