왜 라플라스 변환을 할까?
미분방정식을 대수식으로 바꾸면서 과도응답과 안정성의 정보를 보존합니다.
먼저 그려 보기
입력이 바뀔 때마다 모터 미분방정식을 다시 푸는 일은 번거롭습니다. s영역에서는 미분이 s의 곱(초기조건 항 포함)이 되어 블록을 보통 대수식처럼 곱하고 나눌 수 있습니다.
모델이 말하는 것
라플라스 변환은 시간 신호에 exp(−st)를 곱해 적분합니다. s=σ+jω에서 실수부 σ는 지수적 증가·감쇠를, 허수부 ω는 진동을 나타냅니다. 전달함수는 입력·출력 관계에서 초기조건을 0으로 놓습니다. 초기 상태가 0이 아니면 별도 항이 필요합니다. 주파수 응답은 존재할 때 s=jω를 대입한 단면이며 대상 시스템이 바뀌는 것은 아닙니다.
관계식
ℒ{dx/dt}=sX(s)-x(0); G(s)=Y(s)/U(s) | zero initial statex(0) 항 때문에 전달함수만으로 모든 초기조건을 표현할 수는 없습니다.
극점의 실수부는 성장·감쇠를, 허수부는 진동 주파수를 정합니다. 경계선 위는 별도 분석이 필요합니다.
실험과 연결
τ dy/dt+y=u에서 초기 상태가 0이면 G(s)=1/(τs+1)입니다. −1/τ의 극점은 시간 척도 τ의 감쇠를 예고합니다.
주의
s영역은 계산 도구이지 실제 시간이 사라진다는 뜻이 아닙니다. 해석할 때는 시간응답이나 주파수응답으로 돌아와야 합니다.
이해 확인+
실수부가 양수인 극점은 자유 응답에 대해 무엇을 뜻할까요?
지수적으로 커지는 모드가 포함되어 연속시간 선형 시스템이 불안정합니다.