CHAPTER 21 / 주파수 영역

보드 선도: 이득과 위상

나란한 두 그래프가 느린 입력부터 빠른 입력까지의 루프 반응을 보여줍니다.

이번 강의의 목표

진폭비와 데시벨을 변환하고 0데시벨 교차점을 알아봅니다.

한 주파수에서는 크기와 위상을 하나씩 얻었습니다. 보드 선도는 여러 주파수의 결과를 나란히 그립니다.

앞 강의 다시 보기: 왜 주파수·위상으로 볼까?

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

보드 크기 선도는 '이 주파수가 얼마나 통과하나?', 위상 선도는 '얼마나 늦게 도착하나?'를 답합니다. 로그 축은 매우 넓은 주파수 범위를 읽기 좋게 압축합니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

보드 선도는 같은 주파수 축에 진폭 비율과 위상 두 측정값을 그립니다. 가로축 간격은 같은 수를 더하는 대신 1·10·100처럼 같은 비율로 곱하는 방식입니다. 크기는 큰 비율과 작은 비율을 함께 보여주기 위해 데시벨을 씁니다. 0데시벨은 비율이 1, 즉 같은 진폭으로 전달된다는 뜻입니다. 먼저 대상 자체, 개루프, 폐루프 중 무엇을 그렸는지 확인하세요. 축이 같아 보여도 의미는 달라집니다.

수식 읽는 법

M_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}|L(j\omega)|

데시벨은 진폭비를 로그 척도로 나타냅니다. 0데시벨은 비율 1입니다.

기호의 뜻

$L$: 개루프 전달함수, 보통 제어기와 대상의 곱
$\omega$: 각주파수, 초당 라디안
$M_{\mathrm{dB}}$: 데시벨로 표현한 진폭비

계수 20은 진폭 비율을 데시벨로 바꿀 때 사용합니다. 이득 10은 20 dB이고 이득 0.1은 −20 dB입니다. 루프의 이득 교차점에서는 크기가 1입니다. 다음에는 그때의 위상으로 여유를 살펴봅니다.

보드 선도 / G(s)=1/(1+s)

1차 저역통과 대상에서는 높은 주파수가 약해지고 지연도 커집니다. 실험실의 수치 데이터가 아닌 형태 개념도입니다.

숫자로 풀어 보는 예제

+6데시벨의 뜻

한 주파수에서 개루프 출력 진폭이 입력 진폭의 두 배라고 합시다.
$|L(j\omega)|=2$
이 비율을 데시벨로 바꾸면 약 +6.02데시벨입니다.
$20\log_{10}2\approx6.02\ \mathrm{dB}$
진폭비가 1이 되는 주파수에서는 크기 선도가 0데시벨을 지납니다. 그 주파수의 위상이 다음 장에서 중요합니다.
$20\log_{10}1=0\ \mathrm{dB}$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

두 그래프를 함께 읽기

크기는 출력·입력 진폭의 비입니다. 데시벨로 20log₁₀|L|=0이면 |L|=1, +20 dB이면 진폭 10배, −20 dB이면 1/10배입니다. 위상은 사인파 출력의 앞섬·늦음을 나타냅니다. 교차점의 피드백을 해석할 때 어느 그래프도 혼자서는 충분하지 않습니다.

가로축은 로그 주파수이므로 같은 간격은 같은 rad/s 차이가 아니라 같은 비율을 뜻합니다. 이득 교차 주파수에서는 위상 그래프를 읽어 위상 여유를 추정하고, −180° 위상 교차에서는 크기를 읽어 이득 여유를 추정합니다. 교차가 여러 번이면 대표 수치 하나가 중요한 경우를 숨길 수 있습니다.

조금 더 자세히

설계 그림이지 판정서가 아닙니다

개루프 L의 보드 선도는 저주파 추종·교차점·고주파 잡음 노출을 비교하게 돕습니다. 그 자체가 폐루프 계단 응답은 아닙니다. 둘을 연결하려면 폐루프 관계를 계산하고 같은 공칭·비포화 가정에서 시간 응답을 시험해야 합니다.

P·I·D를 바꾸면 제어기가 L을 바꾸고 이득 교차 주파수도 움직일 수 있습니다. 새 교차점에서 새 여유를 읽으세요. Lab의 루프 선도는 이산시간이며 부하·잡음·파라미터 오차·전압 포화를 제외합니다. 그래프의 설명에 이 범위가 적혀 있습니다.

INTERACTIVE / L(s) = K / (s(1 + s/p))게인과 지연 극점을 바꾸고 여유를 읽어 보세요

게인 K10지연 극점 p (rad/s)10

교차 주파수 7.86 rad/s, 위상 여유 52°. K를 키우면 크기 곡선이 위로 올라가 교차점이 오른쪽으로 이동하고, 그곳에서는 지연 극점이 위상을 더 많이 깎습니다. 이 이상화된 루프는 −180°에 닿지 않습니다. 실제 모터에는 샘플링 지연·포화·모델링되지 않은 동특성이 있으므로 여기의 여유가 하드웨어의 보증은 아닙니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

어떤 주파수에서 +6 dB라면 사인파 출력 진폭은 입력의 대략 두 배입니다.

실시간 모터 보드 선도 열기

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측교차점이 옮겨지면 여유도 바뀔까요?
한 가지 변경모터 실행 하나를 고정하고 P만 바꾼 뒤 주파수 작업대의 보드를 여세요.
관찰전후의 이득 교차·위상 여유를 읽고 계단 응답도 비교하세요.
설명상승이 빨라진 것이 강인성이 커졌다는 뜻은 아닌 이유를 설명하세요.

주의

대상 G, 제어기 C, 개루프 L=CG, 폐루프 T=L/(1+L)을 혼동하지 마세요. 각각의 보드 선도는 다른 질문에 답합니다.

이해 확인+

루프 이득 보드 선도의 0 dB는?

그 주파수에서 개루프 전달함수의 크기가 1입니다.

다음 강의로 이어가기

이득 교차 주파수의 위상 지연은 루프가 임계점 −1에 얼마나 가까운지 알려줍니다.

더 읽어보기

MIT OCW — Systems, Modeling, and Control II, lecture notes ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

M_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}|L(j\omega)|

데시벨은 진폭비를 로그 척도로 나타냅니다. 0데시벨은 비율 1입니다.

기호의 뜻

$L$: 개루프 전달함수, 보통 제어기와 대상의 곱
$\omega$: 각주파수, 초당 라디안
$M_{\mathrm{dB}}$: 데시벨로 표현한 진폭비

보드 선도 / G(s)=1/(1+s)

1차 저역통과 대상에서는 높은 주파수가 약해지고 지연도 커집니다. 실험실의 수치 데이터가 아닌 형태 개념도입니다.

+6데시벨의 뜻

한 주파수에서 개루프 출력 진폭이 입력 진폭의 두 배라고 합시다.

|L(j\omega)|=2

이 비율을 데시벨로 바꾸면 약 +6.02데시벨입니다.

20\log_{10}2\approx6.02\ \mathrm{dB}

진폭비가 1이 되는 주파수에서는 크기 선도가 0데시벨을 지납니다. 그 주파수의 위상이 다음 장에서 중요합니다.

20\log_{10}1=0\ \mathrm{dB}

두 그래프를 함께 읽기

설계 그림이지 판정서가 아닙니다

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측교차점이 옮겨지면 여유도 바뀔까요?

한 가지 변경모터 실행 하나를 고정하고 P만 바꾼 뒤 주파수 작업대의 보드를 여세요.

관찰전후의 이득 교차·위상 여유를 읽고 계단 응답도 비교하세요.

설명상승이 빨라진 것이 강인성이 커졌다는 뜻은 아닌 이유를 설명하세요.