CHAPTER 08 / 시스템의 성질

제어기는 미래의 측정값을 읽을 수 없다

인과성은 현재 출력이 현재와 과거 입력에는 의존해도 아직 일어나지 않은 입력에는 의존하지 않는다는 뜻입니다.

이번 강의의 목표

초기조건이 같다면 나중의 외란이 과거 응답을 바꿀 수 없는 이유를 설명합니다.

선형성은 응답이 어떻게 합쳐지는지 알려줍니다. 인과성은 어느 시각의 입력이 현재 출력에 영향을 줄 수 있는지 정합니다.

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

모터는 부하 펄스가 오기 전에 그 사실을 미리 알지 못하면 반응할 수 없습니다. 예측은 모델에 근거한 추정이지 미래 센서값을 읽은 것이 아닙니다. 오프라인 그래프나 필터가 변화를 미리 아는 듯 보일 때 이 차이가 중요합니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

인과적인 시스템은 현재나 과거에 얻은 정보만 사용합니다. 같은 초기 상태에서 시작한 두 실행을 비교하세요. 지금까지 입력이 같았다면 지금까지의 출력도 같아야 합니다. 현재 입력에 즉시 반응하는 것은 괜찮습니다. 미래의 측정값을 미리 사용할 수 없다는 뜻입니다. 인과성만으로 응답이 작게 유지되는지는 알 수 없습니다. 그 별도의 질문은 안정성에서 배웁니다.

수식 읽는 법

u_1(\tau)=u_2(\tau)\ (\tau\le t)\ \Longrightarrow\ y_1(t)=y_2(t)

두 입력이 지금까지 같고 초기 상태도 같다면 인과적인 시스템의 현재 출력도 같아야 합니다.

기호의 뜻

$\tau$: 현재까지의 시간, 초
$t$: 현재 시각, 초
$u_1,u_2$: 두 가지 가능한 입력 이력
$y_1,y_2$: 같은 초기 상태에서 얻은 두 출력

두 실행은 내부에 저장된 상태가 같아야 합니다. 제어기가 미리 주어진 일정을 사용할 수는 있습니다. 이는 이미 알고 있는 정보이지 미래에서 가져온 측정값이 아닙니다.

인과적 비교 / 같은 과거, 다른 미래 입력

초기조건과 설정이 같다면 나중에 들어오는 부하가 앞선 출력을 바꿀 수 없습니다.

숫자로 풀어 보는 예제

나중에 가한 부하

0에서 시작하는 정규화된 1차 시스템을 사용합니다. 4초까지 입력은 0으로 둡니다.
$\dot y=-y+u,\quad y(0)=0$
한 실험에서는 계속 0을 유지하고 다른 실험에서는 4초에 입력을 1로 바꿉니다. 그 전의 출력은 두 실험 모두 0입니다.
$y_1(t)=y_2(t)=0\quad(t<4)$
5초에 두 번째 출력은 약 0.632가 되고 첫 번째 출력은 0입니다. 나중의 입력은 미래를 바꾸지 과거를 바꾸지 않습니다.
$y_2(5)=1-e^{-1}\approx0.632$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

예측은 가능하지만 미래 측정은 불가능

미리 알려진 목표 변경 일정이나 모델로 예측한 미래 상태는 제어기에 사용할 수 있습니다. 하지만 실제 부하가 발생하기 전의 미래 부하 측정값을 사용할 수는 없습니다. 녹화된 데이터를 처리하는 영위상 필터는 한 시점 앞뒤의 샘플을 함께 쓸 수 있지만, 같은 연산을 실시간으로 하려면 지연이나 근사가 필요합니다.

조금 더 자세히

사건이 시작되는 시점 보기

두 실험의 시드·초기 상태·제어 설정이 같고 하나에만 4초 부하를 더했다면 4초 전 상태는 수치 허용오차 안에서 같아야 합니다. 사건 이전에 달라진다면 설정 변화, 재생 오류, 비인과적 계산을 의심해야 합니다. 실제 장치가 미리 반응한 것은 아닙니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

부하 없는 모터 결과를 고정하고 4초에 부하 사건을 추가한 뒤 사건 전후의 두 곡선을 비교하세요.

부하 전후 비교

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측부하를 주기 전부터 두 곡선이 달라져야 할까요?
한 가지 변경모터 설정을 유지하고 4초 부하 사건만 추가하세요.
관찰같은 재생 커서로 4초 전후 곡선을 비교하세요.
설명사건 전 차이가 있다면 먼저 바뀐 조건을 확인하세요.

주의

인과적이라는 말만으로 빠르거나 안정하거나 모든 제약에서 구현 가능하다는 뜻은 아닙니다. 현재 출력에 영향을 줄 수 있는 입력 시각만 제한합니다.

이해 확인+

모델을 사용한 예측 제어기는 비인과적일까요?

아닙니다. 현재·과거 정보에 근거한 예측은 인과적입니다. 실제 미래 측정값을 미리 읽는다면 비인과적입니다.

다음 강의로 이어가기

인과적인 LTI 시스템에서는 하나의 이상적인 충격응답으로 여러 입력의 응답을 만들 수 있습니다.

더 읽어보기

MIT 6.011 — Signals, Systems and Inference ↗

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개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

u_1(\tau)=u_2(\tau)\ (\tau\le t)\ \Longrightarrow\ y_1(t)=y_2(t)

두 입력이 지금까지 같고 초기 상태도 같다면 인과적인 시스템의 현재 출력도 같아야 합니다.

기호의 뜻

$\tau$: 현재까지의 시간, 초
$t$: 현재 시각, 초
$u_1,u_2$: 두 가지 가능한 입력 이력
$y_1,y_2$: 같은 초기 상태에서 얻은 두 출력

인과적 비교 / 같은 과거, 다른 미래 입력

초기조건과 설정이 같다면 나중에 들어오는 부하가 앞선 출력을 바꿀 수 없습니다.

나중에 가한 부하

0에서 시작하는 정규화된 1차 시스템을 사용합니다. 4초까지 입력은 0으로 둡니다.

\dot y=-y+u,\quad y(0)=0

한 실험에서는 계속 0을 유지하고 다른 실험에서는 4초에 입력을 1로 바꿉니다. 그 전의 출력은 두 실험 모두 0입니다.

y_1(t)=y_2(t)=0\quad(t<4)

5초에 두 번째 출력은 약 0.632가 되고 첫 번째 출력은 0입니다. 나중의 입력은 미래를 바꾸지 과거를 바꾸지 않습니다.

y_2(5)=1-e^{-1}\approx0.632

예측은 가능하지만 미래 측정은 불가능

사건이 시작되는 시점 보기

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측부하를 주기 전부터 두 곡선이 달라져야 할까요?

한 가지 변경모터 설정을 유지하고 4초 부하 사건만 추가하세요.

관찰같은 재생 커서로 4초 전후 곡선을 비교하세요.

설명사건 전 차이가 있다면 먼저 바뀐 조건을 확인하세요.