CHAPTER 19 / 극점 기반 설계

리드·래그 보상기

전체 게인을 일괄 조절하는 대신 주파수별 루프 특성을 다듬습니다.

이번 강의의 목표

극점·영점으로 리드 보상기를 식별하고 한 주파수의 위상 기여를 계산합니다.

근궤적에서는 이득 하나로 극점을 움직였습니다. 리드·래그 보상은 영점과 극점을 더해 주파수에 따라 루프를 다르게 바꿉니다.

앞 강의 다시 보기: 근궤적: 극점의 이동

상황부터 이해하기

먼저 그려 보기

이득 하나를 바꾸면 기존 근궤적 위에서 극점이 움직입니다. 그 길에서 원하는 응답을 만들 수 없다면 제어기에 극점과 영점을 추가할 수 있습니다. 리드와 래그 보상기는 그 길을 바꾸는 두 가지 간단한 방법입니다.

핵심 개념

개념을 하나씩 연결하기

아래 형태에서 리드 보상기의 영점은 극점보다 원점에 가깝습니다. 래그 보상기는 그 순서를 뒤집습니다. 추가한 인수는 폐루프 특성방정식을 바꿉니다. 그 효과를 설명하는 다른 방법은 위상입니다. 반복되는 출력이 입력보다 시간상 얼마나 앞서거나 뒤지는지 나타냅니다. 리드는 특정 주파수 범위에서 양의 위상을 더합니다. 래그는 음의 위상을 더하지만 높은 주파수에 비해 낮은 주파수의 이득을 크게 만들 수 있습니다. 이 주파수 관점은 다음 강의들에서 자세히 배웁니다.

수식 읽는 법

C_{\mathrm{lead}}(s)=\frac{s+z}{s+p},\qquad 0<z<p

영점이 극점보다 원점에 가깝습니다. 이 배치는 한 주파수 대역에서 양의 위상을 더합니다.

기호의 뜻

$z$: 양의 영점 위치 매개변수, 초의 역수
$p$: 양의 극점 위치 매개변수, 초의 역수
$s$: 복소 주파수, 초의 역수
$C$: 제어기 전달함수

예제의 각도 계산은 다음 내용을 미리 보는 것입니다. 이것만으로 전체 루프가 안정하다는 증명은 아닙니다. 제어기 전체 이득도 중요하며 고주파 응답이 커지면 잡음과 구동 입력 요구도 커질 수 있습니다.

위상 성형 / 개념도

리드는 특정 대역에 양의 위상, 래그는 음의 위상을 더합니다. 정확한 곡선과 교차점은 극점·영점·이득에 따라 달라집니다.

숫자로 풀어 보는 예제

초당 2라디안 부근의 위상 증가

영점 매개변수 1과 극점 매개변수 4를 고릅니다. 둘 다 초의 역수이며 리드 보상기입니다.
$C(s)=\frac{s+1}{s+4}$
초당 2라디안에서 분자의 각도에서 분모의 각도를 뺍니다.
$\phi=\tan^{-1}(2/1)-\tan^{-1}(2/4)$
결과는 약 36.9도의 양의 위상입니다. 크기도 바뀌므로 전체 설계에서는 이득 교차와 잡음을 확인해야 합니다.
$\phi\approx63.435^\circ-26.565^\circ\approx36.87^\circ$

더 자세한 설명과 모델의 가정

조금 더 자세히

영점과 극점을 목적에 맞게 배치하기

0<z<p인 리드 보상기 C=K(s+z)/(s+p)는 두 꺾임 주파수 사이에서 양의 위상을 더합니다. 루프가 0 dB를 지날 때 위상 여유를 늘리거나 교차 주파수를 높일 수 있습니다. 크기도 함께 바뀌므로 예전 교차점에 위상만 더하지 말고 새 교차점을 찾으세요.

래그 보상기는 0<p<z입니다. 이득을 알맞게 고르면 교차 대역에 비해 낮은 주파수의 루프 이득을 높여 잔류 오차를 줄일 수 있습니다. 극점·영점 사이에서는 음의 위상을 더하므로 정착 지연이나 여유 감소가 대가가 될 수 있습니다. 둘 다 전압 한계를 없애지는 못합니다.

조금 더 자세히

요구 성능에 따라 선택하기

모터의 정확도는 충분한데 너무 느리다면 전압과 잡음 대역이 허용하는 범위에서 리드를 고려할 수 있습니다. 속도는 괜찮지만 부하 중 정상 오차가 크다면 래그나 PI가 후보입니다. 정확히 0인 오차, 위상, 적분 누적에 미치는 영향은 서로 다릅니다. 조정 전에 허용 오차·정착시간·입력 한계를 적으세요.

이 Lab의 리드·래그는 명시한 샘플링 구현을 사용하며 주파수 패널은 공칭 이산 루프를 분석합니다. 시간 실행도 함께 비교하세요. 좋은 작은 신호 여유도 실제 전압이 ±12 V에서 잘리는 구간은 설명하지 못합니다.

직접 확인하기

예제를 실험과 연결하기

속도 루프의 이득 교차 부근 위상이 부족하면 리드를, 교차 주파수를 크게 올리지 않고 정상오차를 줄이려면 래그를 고려합니다.

리드·래그·PI 비교

직접 해볼 실험

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측오차와 속도 문제에 각각 무엇을 시도할까요?
한 가지 변경리드 실험을 고정한 뒤 같은 모터·목표·부하에서 래그와 PI를 실행하세요.
관찰최종 오차·정착·실제 전압·교차 대역을 비교하세요.
설명한 가지 명시한 요구조건에 맞는 제어기를 비용까지 설명하며 추천하세요.

주의

리드로 얻는 속도는 공짜가 아닙니다. 고주파 센서 잡음을 키울 수 있습니다. 래그도 드리프트나 포화를 보편적으로 해결하지 못합니다.

이해 확인+

(s+1)/(s+4)에서 영점과 극점 중 원점에 가까운 것은 무엇인가요? 리드인가요, 래그인가요?

−1의 영점이 −4의 극점보다 가깝습니다. 특정 주파수 범위에 양의 위상을 더하는 리드 보상기입니다.

다음 강의로 이어가기

위상 계산에는 정현파 주파수를 썼습니다. 다음에는 주파수 응답을 정의한 뒤 전체 선도를 읽습니다.

더 읽어보기

University of Michigan CTMS — Lead and lag compensators ↗

개념을 하나씩 연결하기

수식 읽는 법

C_{\mathrm{lead}}(s)=\frac{s+z}{s+p},\qquad 0<z<p

영점이 극점보다 원점에 가깝습니다. 이 배치는 한 주파수 대역에서 양의 위상을 더합니다.

기호의 뜻

$z$: 양의 영점 위치 매개변수, 초의 역수
$p$: 양의 극점 위치 매개변수, 초의 역수
$s$: 복소 주파수, 초의 역수
$C$: 제어기 전달함수

위상 성형 / 개념도

리드는 특정 대역에 양의 위상, 래그는 음의 위상을 더합니다. 정확한 곡선과 교차점은 극점·영점·이득에 따라 달라집니다.

초당 2라디안 부근의 위상 증가

영점 매개변수 1과 극점 매개변수 4를 고릅니다. 둘 다 초의 역수이며 리드 보상기입니다.

C(s)=\frac{s+1}{s+4}

초당 2라디안에서 분자의 각도에서 분모의 각도를 뺍니다.

\phi=\tan^{-1}(2/1)-\tan^{-1}(2/4)

결과는 약 36.9도의 양의 위상입니다. 크기도 바뀌므로 전체 설계에서는 이득 교차와 잡음을 확인해야 합니다.

\phi\approx63.435^\circ-26.565^\circ\approx36.87^\circ

영점과 극점을 목적에 맞게 배치하기

요구 성능에 따라 선택하기

조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.

예측오차와 속도 문제에 각각 무엇을 시도할까요?

한 가지 변경리드 실험을 고정한 뒤 같은 모터·목표·부하에서 래그와 PI를 실행하세요.

관찰최종 오차·정착·실제 전압·교차 대역을 비교하세요.

설명한 가지 명시한 요구조건에 맞는 제어기를 비용까지 설명하며 추천하세요.