물탱크 수지와 국소 선형 모델
중력 유출 비선형 탱크와 국소 선형 예측을 나란히 봅니다. 작동점, 제한된 펌프 유량과 PI 외란 억제를 탐구하세요.
먼저 그려 보기
h₀ = 0.5 m의 선형 모델이 작은 유량 변화와 큰 변화에 모두 맞을까요?
모델이 말하는 것
단면적이 일정한 탱크의 체적은 V = Ah입니다. 유입 qin은 체적을 늘리고 중력 배출구·추가 유출은 줄이므로 A h′ = qin−c√h−d입니다. 제곱근 법칙은 단순화한 중력 유출 모델이며 c는 형상·유출 효과를 모읍니다. 선형 저항이 아니며 c의 단위는 m⁵ᐟ²/s이므로 c√h는 m³/s입니다.
A h′ = qin − c√h − d; δh′ = [δqin − c δh/(2√h₀) − d]/A일정 단면적·비압축성 유체·이상적 펌프이며 밸브 지연·센서 잡음·유체 관성은 없습니다. 10 ms RK4·연속 PI로 계산하고 100 ms마다 기록합니다. q₀ = c√h₀는 수동·PI 명령의 바이어스이고 Δq는 수동에만 적용합니다. 선형 예측은 실제 비선형 루프의 펌프 유량을 받습니다. 추가 유출은 30초부터 지속되며 0으로 제거합니다. h = 0·2 m 경계를 물리 간격 내 보간해 중단하고 테두리 이후 넘침은 모델링하지 않습니다. 선형 예측은 제한하지 않으며 h₀에서 멀면 물리적으로 불가능할 수 있습니다.
체적 보존으로 상태방정식 만들기
단면적이 일정한 탱크의 체적은 V = Ah입니다. 유입 qin은 체적을 늘리고 중력 배출구·추가 유출은 줄이므로 A h′ = qin−c√h−d입니다. 제곱근 법칙은 단순화한 중력 유출 모델이며 c는 형상·유출 효과를 모읍니다. 선형 저항이 아니며 c의 단위는 m⁵ᐟ²/s이므로 c√h는 m³/s입니다.
양의 작동 수위 h₀·추가 유출 없음에서 평형은 q₀ = c√h₀입니다. 실험은 이 바이어스를 명령에 더합니다. 수동 증가분 0은 펌프 정지가 아니라 원래 평형 유지입니다. h₀를 바꾸면 q₀도 바뀌므로 작동점별 작은 변화를 비교할 때 초기 수위를 h₀에 맞추세요.
선형화는 1차 변화를 남기는 것이다
h = h₀+δh, q = q₀+δq로 쓰면 접선 근사는 c√h ≈ c√h₀ + c δh/(2√h₀)입니다. 평형 항을 지우면 A δh′ = δq−c δh/(2√h₀)−d이며 증분 전달함수는 1/[As+c/(2√h₀)], τ₀ = 2A√h₀/c입니다. 0에서 시작하는 절대 수위가 아니라 작동점 근처 편차를 예측합니다.
실험은 비선형 대상·선형 예측에 같은 실제 펌프 신호를 넣습니다. A=0.1, c=0.003, h₀=0.5이면 국소 시정수는 약 47.1초입니다. 작은 유량 계단에서는 두 궤적이 가까워야 합니다. 큰 계단은 유출 기울기가 달라지는 영역으로 갑니다. 더 오래 실행해도 국소 모델의 부정확함을 고치지 못하며 정상 편차가 더 뚜렷해질 수 있습니다.
제어기에도 유량 여유가 필요하다
일정 추가 유출 d 이후 목표 r을 유지하려면 펌프가 c√r+d를 공급해야 합니다. PI 조정 전에 펌프 한계와 비교하세요. 실험은 q요구 = q₀ + Kp(r−h) + I와 연속 적분을 사용하고 조건부 anti-windup으로 유량 제한을 악화시키는 누적을 막습니다. 바이어스가 0인 열 실험과 달리 작동점 바이어스를 명시적으로 드러냅니다.
빈 탱크·가득 찬 탱크는 물리 경계이며 음수·무한한 수위가 아닙니다. 모델은 넘침 이후를 임의로 만들지 않고 0·2 m에서 중단합니다. 선형 예측은 일부러 제한하지 않습니다. 불가능한 음수 예측은 국소 근사를 범위 밖에서 사용했다는 증거입니다. 중단 결과를 재생해도 데이터가 늘어나지는 않습니다.
실험과 연결
+0.0002 m³/s 계단을 고정하고 Δq만 +0.0015로 바꾸세요. 동일한 실제 펌프 유량을 받는 비선형 수위와 선형 예측을 비교하세요.
연결 실험 열기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측h₀ = 0.5 m의 선형 모델이 작은 유량 변화와 큰 변화에 모두 맞을까요?
- 한 가지 변경+0.0002 m³/s 계단을 고정하고 Δq만 +0.0015로 바꾸세요. 동일한 실제 펌프 유량을 받는 비선형 수위와 선형 예측을 비교하세요.
- 관찰기준을 고정하고 같은 시점의 실제 입력·출력을 함께 비교하세요.
- 설명유출은 c√h입니다. h₀에서의 접선 기울기는 c/(2√h₀)이며 국소 1차 모델을 만듭니다. 선형 궤적에는 같은 실제 펌프 신호를 넣으며 별도로 제어하는 대상이 아닙니다. 큰 변화에서는 접선이 원래 곡선을 덜 대표합니다. 빈 탱크·2 m 테두리에 도달하면 실행을 멈춥니다.
유출은 c√h입니다. h₀에서의 접선 기울기는 c/(2√h₀)이며 국소 1차 모델을 만듭니다. 선형 궤적에는 같은 실제 펌프 신호를 넣으며 별도로 제어하는 대상이 아닙니다. 큰 변화에서는 접선이 원래 곡선을 덜 대표합니다. 빈 탱크·2 m 테두리에 도달하면 실행을 멈춥니다.
이해 확인+
h₀ = 0.5 m의 선형 모델이 작은 유량 변화와 큰 변화에 모두 맞을까요?
유출은 c√h입니다. h₀에서의 접선 기울기는 c/(2√h₀)이며 국소 1차 모델을 만듭니다. 선형 궤적에는 같은 실제 펌프 신호를 넣으며 별도로 제어하는 대상이 아닙니다. 큰 변화에서는 접선이 원래 곡선을 덜 대표합니다. 빈 탱크·2 m 테두리에 도달하면 실행을 멈춥니다.