극점 배치로 상태 피드백 설계
위치를 측정하는 질량–스프링–댐퍼에 상태 피드백과 Luenberger 관측기를 설계합니다. 실제·추정 상태, 잡음과 구동기 제한을 비교하세요.
먼저 그려 보기
원하는 고유진동수를 두 배로 올리면 대가 없이 빨라질까요?
모델이 말하는 것
실험의 질량은 위치 x·속도 v를 가지며 개루프 식은 x″ + 0.8x′ + 4x = u입니다. 위치·속도가 상태이고 입력은 힘입니다. u = −k₁x − k₂v + Nr를 대입하면 x″ + (0.8+k₂)x′ + (4+k₁)x = Nr가 됩니다. 이득이 미분방정식의 계수를 바꾸므로 극점도 바뀝니다.
x′ = Ax + Bu; ureq = −Kx̂ + Nr; x̂′ = Ax̂ + Buapplied + L(y − Cx̂)m = 1 kg, k = 4 N/m, c = 0.8 N·s/m, x = [위치, 속도], y = 위치 + 잡음입니다. 연속 제어기·관측기를 1 ms RK4로 계산하고 20 ms마다 기록합니다. 관측기 감쇠비는 0.8, 고유진동수는 제어기 ωn의 지정 배율입니다. 시드 기반 균등 잡음은 20 ms 동안 유지합니다. 포화는 포함하며 지연·모델 오차·과정 잡음은 없습니다. 이산 디지털 구현이나 칼만 필터가 아닙니다.
원하는 응답을 다항식으로 바꾸기
실험의 질량은 위치 x·속도 v를 가지며 개루프 식은 x″ + 0.8x′ + 4x = u입니다. 위치·속도가 상태이고 입력은 힘입니다. u = −k₁x − k₂v + Nr를 대입하면 x″ + (0.8+k₂)x′ + (4+k₁)x = Nr가 됩니다. 이득이 미분방정식의 계수를 바꾸므로 극점도 바뀝니다.
고유진동수 ωn·감쇠비 ζ를 고르면 원하는 분모는 s² + 2ζωn s + ωn²입니다. 계수를 맞추면 k₁ = ωn²−4, k₂ = 2ζωn−0.8입니다. 실험실은 이 이득을 직접 계산합니다. ωn = 2, ζ = 0.7이면 K = [0, 2]이고 극점은 약 −1.4 ± j1.43입니다. ζ를 고정해 ωn을 두 배로 하면 공칭 모델의 두 극점이 원점에서 비례하여 멀어집니다.
기준값 보정은 적분이 아니다
일정 목표·속도 0의 공칭 평형에서는 (4+k₁)x = Nr입니다. N = 4+k₁ = ωn²이면 포화 없는 정확한 모델에서 x = r이 됩니다. 이 프리필터는 모델 기반 기준값 이득입니다. 누적 오차를 측정하지 않으며 미지의 일정 부하·틀린 스프링 계수를 자동 상쇄하지 않습니다. 적분 상태 추가는 별도 설계입니다.
제어가능성 검사는 선택한 입력이 모든 모드를 움직일 수 있는지 답합니다. 작은 이득·적절한 구동기 입력을 보장하지 않습니다. 이 2상태 모델은 제어가능하지만 유한 힘 제한 때문에 공칭 극점 예측이 맞지 않을 수 있습니다. 대역폭을 올릴 때 요구·실제 힘을 확인하세요. 극점 배치는 위치를 고르고 LQR은 상태·입력의 이차 비용에서 이득을 계산합니다. 둘 다 제약 검토가 필요합니다.
실험과 연결
ωn = 2를 고정하고 ωn만 4, 6 rad/s로 바꾸세요. 위치와 요구/실제 힘을 비교하고 감쇠비·초기 상태는 유지합니다.
연결 실험 열기조작하기 전에 먼저 예측해 보세요.
- 예측원하는 고유진동수를 두 배로 올리면 대가 없이 빨라질까요?
- 한 가지 변경ωn = 2를 고정하고 ωn만 4, 6 rad/s로 바꾸세요. 위치와 요구/실제 힘을 비교하고 감쇠비·초기 상태는 유지합니다.
- 관찰기준을 고정하고 같은 시점의 실제 입력·출력을 함께 비교하세요.
- 설명K는 원하는 2차 다항식에서 계산합니다. 빠른 공칭 극점은 필요한 피드백·기준값 이득을 키웁니다. ±10 N 구동기가 명령을 제한하면 실제 응답은 그 극점을 따르지 않을 수 있습니다. 극점 배치는 포화 없는 정확한 모델의 선형 루프에 대한 설계입니다.
K는 원하는 2차 다항식에서 계산합니다. 빠른 공칭 극점은 필요한 피드백·기준값 이득을 키웁니다. ±10 N 구동기가 명령을 제한하면 실제 응답은 그 극점을 따르지 않을 수 있습니다. 극점 배치는 포화 없는 정확한 모델의 선형 루프에 대한 설계입니다.
이해 확인+
원하는 고유진동수를 두 배로 올리면 대가 없이 빨라질까요?
K는 원하는 2차 다항식에서 계산합니다. 빠른 공칭 극점은 필요한 피드백·기준값 이득을 키웁니다. ±10 N 구동기가 명령을 제한하면 실제 응답은 그 극점을 따르지 않을 수 있습니다. 극점 배치는 포화 없는 정확한 모델의 선형 루프에 대한 설계입니다.