모든 근을 풀기 전에 안정성을 찾다
a=2, b=3을 유지하고 c=4, 6, 8을 비교하세요. 모든 계수가 양수인데도 안정을 보장하지 못하는 이유는 무엇일까요?
먼저 그려 보기
이 실험은 a·b 양수, c 비음수인 3차식만 다룹니다. s³ 행은 [1,b], s² 행은 [a,c]로 놓고 소거하면 s¹ 행은 [(ab−c)/a,0], s⁰ 행은 [c,0]입니다. 영행이 아닌 일반 경우 첫 열의 부호 변화 수가 우반평면 근의 개수입니다.
모델이 말하는 것
a=2, b=3, c=4이면 첫 열은 1,2,1,4이고 모든 극점이 왼쪽입니다. c를 8로 올리면 계수는 여전히 양수지만 첫 열은 1,2,−1,8로 두 번 바뀌어 불안정한 근 2개를 알 수 있습니다. 이 계열의 정확한 안정 범위는 0<c<ab입니다. 극점 그림은 별도 수치 검산입니다.
p(s)=s³+as²+bs+c · first column: 1, a, (ab−c)/a, cc=0이면 p=s(s²+as+b)로 원점 극점이 생깁니다. a·b가 양수이면 나머지 두 근은 좌반평면이지만 전체는 엄격히 안정하지 않습니다. 일반 다항식에서 첫 원소만 0인 경우는 기호 ε 처리가 필요합니다. 이 실험의 허용 범위에는 그런 경우가 없으며 범용 다항식 해석기가 아닙니다. Routh는 안정성을 판단하지만 정착시간·견고성을 알려주지는 않습니다.
3차식의 계수 검사
이 실험은 a·b 양수, c 비음수인 3차식만 다룹니다. s³ 행은 [1,b], s² 행은 [a,c]로 놓고 소거하면 s¹ 행은 [(ab−c)/a,0], s⁰ 행은 [c,0]입니다. 영행이 아닌 일반 경우 첫 열의 부호 변화 수가 우반평면 근의 개수입니다.
양의 계수만으로는 부족하다
a=2, b=3, c=4이면 첫 열은 1,2,1,4이고 모든 극점이 왼쪽입니다. c를 8로 올리면 계수는 여전히 양수지만 첫 열은 1,2,−1,8로 두 번 바뀌어 불안정한 근 2개를 알 수 있습니다. 이 계열의 정확한 안정 범위는 0<c<ab입니다. 극점 그림은 별도 수치 검산입니다.
영행은 별도로 처리하기
c=ab에서는 s¹ 행 전체가 0입니다. 0으로 나누거나 엄격한 안정을 선언하면 안 됩니다. p=(s+a)(s²+b)이므로 극점은 −a와 ±j√b입니다. s² 행의 보조 다항식 as²+c를 미분한 2as로 영행을 대체하는 것이 일반 절차입니다. 여기서는 인수분해를 직접 표시합니다. 허수축 극점은 점근 안정 조건을 만족하지 않으며 최소 전달함수라면 BIBO 안정도 아닙니다.
원점 극점과 결과의 범위
c=0이면 p=s(s²+as+b)로 원점 극점이 생깁니다. a·b가 양수이면 나머지 두 근은 좌반평면이지만 전체는 엄격히 안정하지 않습니다. 일반 다항식에서 첫 원소만 0인 경우는 기호 ε 처리가 필요합니다. 이 실험의 허용 범위에는 그런 경우가 없으며 범용 다항식 해석기가 아닙니다. Routh는 안정성을 판단하지만 정착시간·견고성을 알려주지는 않습니다.
실험과 연결
a=2, b=3을 유지하고 c=4, 6, 8을 비교하세요. 모든 계수가 양수인데도 안정을 보장하지 못하는 이유는 무엇일까요?
개념 실험 열기c=0이면 p=s(s²+as+b)로 원점 극점이 생깁니다. a·b가 양수이면 나머지 두 근은 좌반평면이지만 전체는 엄격히 안정하지 않습니다. 일반 다항식에서 첫 원소만 0인 경우는 기호 ε 처리가 필요합니다. 이 실험의 허용 범위에는 그런 경우가 없으며 범용 다항식 해석기가 아닙니다. Routh는 안정성을 판단하지만 정착시간·견고성을 알려주지는 않습니다.
이해 확인+
a=2, b=3을 유지하고 c=4, 6, 8을 비교하세요. 모든 계수가 양수인데도 안정을 보장하지 못하는 이유는 무엇일까요?
c=ab에서는 s¹ 행 전체가 0입니다. 0으로 나누거나 엄격한 안정을 선언하면 안 됩니다. p=(s+a)(s²+b)이므로 극점은 −a와 ±j√b입니다. s² 행의 보조 다항식 as²+c를 미분한 2as로 영행을 대체하는 것이 일반 절차입니다. 여기서는 인수분해를 직접 표시합니다. 허수축 극점은 점근 안정 조건을 만족하지 않으며 최소 전달함수라면 BIBO 안정도 아닙니다.